Презентация на тему: Лекція Тема. Диференціальні рівняння вищих порядків. 1. Диференціальне рівняння

Лекція Тема. Диференціальні рівняння вищих порядків. 1. Диференціальне рівняння
Лекція Тема. Диференціальні рівняння вищих порядків. 1. Диференціальне рівняння
Лекція Тема. Диференціальні рівняння вищих порядків. 1. Диференціальне рівняння
Лекція Тема. Диференціальні рівняння вищих порядків. 1. Диференціальне рівняння
Лекція Тема. Диференціальні рівняння вищих порядків. 1. Диференціальне рівняння
Лекція Тема. Диференціальні рівняння вищих порядків. 1. Диференціальне рівняння
Лекція Тема. Диференціальні рівняння вищих порядків. 1. Диференціальне рівняння
Лекція Тема. Диференціальні рівняння вищих порядків. 1. Диференціальне рівняння
Лекція Тема. Диференціальні рівняння вищих порядків. 1. Диференціальне рівняння
Лекція Тема. Диференціальні рівняння вищих порядків. 1. Диференціальне рівняння
Лекція Тема. Диференціальні рівняння вищих порядків. 1. Диференціальне рівняння
Лекція Тема. Диференціальні рівняння вищих порядків. 1. Диференціальне рівняння
1/12
Средняя оценка: 4.2/5 (всего оценок: 26)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (210 Кб)
1

Первый слайд презентации

Лекція Тема. Диференціальні рівняння вищих порядків. 1. Диференціальне рівняння ІІ-го порядку. Основні означення. Всі диференціальні рівняння, які мають порядок більший одиниці, називають диференціальним рівнянням вищих порядків. Обмежимося вивченням диференціальних рівнянь другого порядку. Означення 1. Якщо диференціальне рівняння містить похідну або диференціал другого порядку, то воно називається диференціальним рівнянням другого порядку.

Изображение слайда
2

Слайд 2

Загальний вигляд такого рівняння, де – шукана невідома функція – її похідні по змінній х першого та другого порядків, F – задана залежність між Диференціальне рівняння другого порядку може бути розв’язане відносно найвищої похідної .

Изображение слайда
3

Слайд 3

Означення 2. Загальним розв’язком диференціального рівняння другого порядку називається функція від х і двох довільних сталих С 1, С 2, яка перетворює це рівняння в тотожність. Загальний розв’язок, який одержимо в неявному вигляді, називається загальним інтегралом.

Изображение слайда
4

Слайд 4

Означення 3. Частинним розв’язком диференціального рівняння ІІ-го порядку називається розв’язок, який отримано із загального розв’язку при фіксованому значенні сталих С 1, С 2 : – фіксовані числа (аналогічно частинний інтеграл ). Для диференціальних рівнянь другого порядку, як і для рівнянь першого порядку, розглядається задача Коші або задача з початковими умовами.

Изображение слайда
5

Слайд 5

Для диференціальних рівнянь другого порядку задача Коші має вигляд: серед усіх розв’язків рівняння знайти такий розв’язок який при задовольняє такі умови , тобто Сталі С 1 і С 2 знаходять із системи рівнянь . Існування і єдиність розв’язку задачі Коші визначається такою теоремою Коші.

Изображение слайда
6

Слайд 6

Теорема Коші. Якщо функція і її частинні похідні по аргументах неперервні в деякій відкритій області, то для довільної точки існує єдиний розв’язок у = у(х) диференціального рівняння, який задовольняє початкові умови. Графік розв’язку диференціального рівняння називають його інтегральною кривою.

Изображение слайда
7

Слайд 7

З геометричної точки зору загальному розв’язку диференціального рівняння ІІ-го порядку відповідає сім’я інтегральних кривих, залежних від двох сталих С 1 і С 2, а частинному розв’язку – окрема крива з цієї сім’ї, яка проходить через дану точку з кутовим коефіцієнтом дотичної в цій точці, який буде (заданий напрямок).

Изображение слайда
8

Слайд 8

2. Диференціальні рівняння другого порядку, що допускають зниження порядку. В деяких випадках диференціальне рівняння другого порядку може бути зведено до послідовного розв’язання двох рівнянь першого порядку. Такі рівняння називаються рівняннями, що допускають зниження порядку. Розглянемо деякі типи таких диференціальних рівнянь другого порядку. 1) Рівняння виду. Загальний розв’язок таких рівнянь знаходять послідовним інтегруванням:,. Приклад 5. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Изображение слайда
9

Слайд 9

Розв’язання. , тоді. 2) Якщо до диференціального рівняння не входить явно невідома функція у, тобто рівняння має вид або. В цьому випадку заміною , де p ( x ) – нова невідома функція, рівняння зводиться до диференціального рівняння першого порядку відносно цієї функції p ( x ), тобто або. Приклад 6. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Изображение слайда
10

Слайд 10

Розв’язання. Зробимо заміну, тоді, отже, маємо диференціальне рівняння першого порядку – це рівняння з відокремлюваними змінними. Оскільки то то ,,. Але, маємо, – загальний розв’язок рівняння.

Изображение слайда
11

Слайд 11

3) Якщо до рівняння не входить незалежна змінна х, тобто має вид або. Тоді заміною, де p = p ( y ) – нова шукана функція, у – незалежна змінна, задане рівняння перетворюється на рівняння першого порядку відносно нової шуканої функції p = p ( y ), а саме. Приклад 7. Розв’язати рівняння.

Изображение слайда
12

Последний слайд презентации: Лекція Тема. Диференціальні рівняння вищих порядків. 1. Диференціальне рівняння

Розв’язання. Нехай, тоді, підставимо в дане рівняння, – це рівняння розпадається на два рівняння. З першого маємо, звідки. У другому рівнянні відокремлюють змінні:, ,, звідки. Оскільки,то,. Замінивши С 1 на (-С 1 ), С 2 на (-С 2 ), знайдемо другий загальний розв’язок даного рівняння. Отже, задане рівняння має розв’язки у=С та .

Изображение слайда