Презентация на тему: Лекція Тема. Лінійні однорідні і неоднорідні диференціальні рівняння ІІ порядку

Лекція Тема. Лінійні однорідні і неоднорідні диференціальні рівняння ІІ порядку зі сталими коефіцієнтами.
Лекція Тема. Лінійні однорідні і неоднорідні диференціальні рівняння ІІ порядку
Лекція Тема. Лінійні однорідні і неоднорідні диференціальні рівняння ІІ порядку
Лекція Тема. Лінійні однорідні і неоднорідні диференціальні рівняння ІІ порядку
Лекція Тема. Лінійні однорідні і неоднорідні диференціальні рівняння ІІ порядку
Лекція Тема. Лінійні однорідні і неоднорідні диференціальні рівняння ІІ порядку
Лекція Тема. Лінійні однорідні і неоднорідні диференціальні рівняння ІІ порядку
Лекція Тема. Лінійні однорідні і неоднорідні диференціальні рівняння ІІ порядку
Лекція Тема. Лінійні однорідні і неоднорідні диференціальні рівняння ІІ порядку
Лекція Тема. Лінійні однорідні і неоднорідні диференціальні рівняння ІІ порядку
Лекція Тема. Лінійні однорідні і неоднорідні диференціальні рівняння ІІ порядку
Лекція Тема. Лінійні однорідні і неоднорідні диференціальні рівняння ІІ порядку
Лекція Тема. Лінійні однорідні і неоднорідні диференціальні рівняння ІІ порядку
Лекція Тема. Лінійні однорідні і неоднорідні диференціальні рівняння ІІ порядку
1/14
Средняя оценка: 4.8/5 (всего оценок: 45)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (241 Кб)
1

Первый слайд презентации: Лекція Тема. Лінійні однорідні і неоднорідні диференціальні рівняння ІІ порядку зі сталими коефіцієнтами

1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Означення 1. Лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами називають рівняння виду , де p, q – сталі величини.

Изображение слайда
2

Слайд 2

Означення 4. Рівняння називається характеристичним рівнянням лінійного однорідного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами. Для складання характеристичного рівняння в даному рівнянні заміняємо на, на, на 1. Це рівняння визначає ті значення,при яких функція буде розв’язком диференціального рівняння. При розв’язувані характеристичного рівняння можливі три випадки.

Изображение слайда
3

Слайд 3

№ п/п Корені характерист. рівняння Частинні розв'язки W(x)≠0 Загальні розв'язки 1 дійсні і різні 2 дійсні і рівні 3 Комплексно-спряжені

Изображение слайда
4

Слайд 4

Приклад 1. Знайти загальний розв’язок рівняння . Розв’язання. Складаємо характеристичне рівняння, звідки k1=k2=5, тому за формулою маємо загальний розв’язок. Приклад 2. Знайти частинний розв’язок рівняння що задовольняє початкові умови у(0)=2 і у’(0)=1.

Изображение слайда
5

Слайд 5

Розв’язання. Складаємо характеристичне рівняння і знайдемо його корені: D=4-4·5=4-20=-16, . Корені рівняння являються комплексно-спряжени-ми, тому за формулою маємо загальний розв’язок. Для знаходження частинного розв’язку, який задовольняє початковим умовам, складаємо систему

Изображение слайда
6

Слайд 6

Тепер підставляємо початкові умови у(0)=2 і у’(0)=1 і враховуємо, що е 0 =1, sin 0=0, cos 0=1, маємо, , тому шуканим частинним розв’язком буде функція.

Изображение слайда
7

Слайд 7

2. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Означення 3. Лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами називається рівняння виду, де p, q – сталі величини, f ( x ) – задана функція, неперервна на деякому проміжку ( a ; b ).

Изображение слайда
8

Слайд 8

Теорема 2. (про структуру загального розв’язку неоднорідного рівняння) Загальним розв’язком рівняння є сума його довільного частинного розв’язку і загального розв’язку відповідного однорідного рівняння, тобто, де – загальний розв’язок однорідного рівняння, у*(х) – частинний розв’язок неоднорідного рівняння. Знаходити загальний розв’язок однорідного рівняння ми вже вміємо, тому розглянемо питання про знаходження частинного розв’язку неоднорідного рівняння. Для цього існує два методи: метод варіації довільних сталих і метод невизначених коефіцієнтів.

Изображение слайда
9

Слайд 9

Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа). Алгоритм методу Лагранжа 1. Скласти і розв’язати характеристичне рівняння, яке відповідає однорідному рівнянню, і знайти фундаментальну систему розв’язків у 1 і у 2. 2. Знайти загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння, де Покладемо в ньому і і будемо шукати частинний розв’язок неоднорідного рівняння у вигляді

Изображение слайда
10

Слайд 10

3. Скласти і обчислити визначник Вронського і додаткові визначники, за допомогою яких знаходяться, де, ,. 4. Розв’язати найпростіші диференціальні рівняння та знайти :. 5. Знайти частинний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння у вигляді

Изображение слайда
11

Слайд 11

6. Загальний розв’язок неоднорідного рівняння буде сумою загального розв’язку однорідного рівняння і частинного розв’язку неоднорідного рівняння у*(х), тобто. Приклад 3. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Изображение слайда
12

Слайд 12

Розв’язання. 1. Складаємо характеристичне рівняння, яке відповідає однорідному рівнянню – дійсні різні корені, тоді 2. Складаємо загальний розв’язок однорідного рівняння. Покладемо і, тоді

Изображение слайда
13

Слайд 13

3. Складаємо визначники: тоді

Изображение слайда
14

Последний слайд презентации: Лекція Тема. Лінійні однорідні і неоднорідні диференціальні рівняння ІІ порядку

4. Знайдемо, . 5. Запишемо частинний розв’язок у*(х) неоднорідного диференціального рівняння: 6. Знайдемо загальний розв’язок даного диференціального рівняння:

Изображение слайда