Презентация на тему: Лекція 6 Тема. Інтегрування раціональних дробів

Лекція 6 Тема. Інтегрування раціональних дробів.
Лекція 6 Тема. Інтегрування раціональних дробів.
Лекція 6 Тема. Інтегрування раціональних дробів.
Лекція 6 Тема. Інтегрування раціональних дробів.
Лекція 6 Тема. Інтегрування раціональних дробів.
Лекція 6 Тема. Інтегрування раціональних дробів.
Лекція 6 Тема. Інтегрування раціональних дробів.
Лекція 6 Тема. Інтегрування раціональних дробів.
Лекція 6 Тема. Інтегрування раціональних дробів.
Лекція 6 Тема. Інтегрування раціональних дробів.
Лекція 6 Тема. Інтегрування раціональних дробів.
Лекція 6 Тема. Інтегрування раціональних дробів.
Лекція 6 Тема. Інтегрування раціональних дробів.
Лекція 6 Тема. Інтегрування раціональних дробів.
1/14
Средняя оценка: 4.4/5 (всего оценок: 93)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (183 Кб)
1

Первый слайд презентации: Лекція 6 Тема. Інтегрування раціональних дробів

1. Інтегрування найпростіших раціональних дробів. Означення 1. Найпростішими раціональними дробами І, ІІ, ІІІ, І V типу називаються правильні дроби вигляду: І тип - ; ІІ тип -, ( ціле) ІІІ тип -, І V тип -,

Изображение слайда
2

Слайд 2

Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів І та ІІ типів знаходять методом заміни змінної: І тип – ІІ тип –

Изображение слайда
3

Слайд 3

При інтегруванні найпростішого дробу ІІІ типу потрібно спочатку виділити в знаменнику повний квадрат, а потім той вираз, що стоїть під квадратом, замінити на нову змінну. Отже, одержимо формулу: ІІІ тип – Інтеграл від найпростішого дробу І V типу шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла від найпростішого дробу ІІІ типу.

Изображение слайда
4

Слайд 4

2. Інтегрування раціональних дробів методом невизначених коефіцієнтів. Означення 2. Раціональним дробом називають вираз де - многочлени відповідних степенів. Якщо, то дріб неправильний; якщо, то дріб правильний.

Изображение слайда
5

Слайд 5

Якщо дріб неправильний, то треба поділити чисельник на знаменник за правилом ділення многочленів і одержати заданий дріб у вигляді суми многочлена (ціла частина дробу) та правильного раціонального дробу (дробова частина неправильного дробу), тобто

Изображение слайда
6

Слайд 6

Приклад 1. Раціональний дріб розкласти на суму многочлена та правильного дробу. а), оскільки n =2, т=3 і 2<3, то даний дріб правильний і його не можна розкласти на суму многочлена та правильного дробу. б) оскільки n =4, т=2 і 4> 2, то даний дріб неправильний і його можна розкласти на суму многочлена і правильного дробу.

Изображение слайда
7

Слайд 7

Результат отримаємо за допомогою ділення чисельника на знаменник:

Изображение слайда
8

Слайд 8

Остаточно маємо: Сформулюємо без доведення наступну теорему. Теорема 1. Будь-який неправильний раціональний дріб розкладається на суму найпростіших раціональних дробів типу І-І V, коефіцієнти яких можна знайти методом невизначених коефіцієнтів. Розглянемо наступні випадки. 1) корені знаменника дійсні та різні В цьому випадку дріб розкладається на суму найпростіших дробів І типу:

Изображение слайда
9

Слайд 9

де - невизначені коефіцієнти, які знаходять з одержаної тотожності. 2) корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, тобто, тоді даний дріб розкладається на суму найпростіших дробів І та ІІ типу, де, - невизначені коефіцієнти, які знаходять з одержаної тотожності.

Изображение слайда
10

Слайд 10

3) корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, крім того, знаменник містить квадратний тричлен, який не розкладається на множники : , тоді даний дріб розкладається на суму найпростіших дробів І. ІІ, ІІІ, І V типів. , де - невизначені коефіцієнти, які знаходять з одержаної тотожності.

Изображение слайда
11

Слайд 11

3. Застосування методу невизначених коефіцієнтів. Інтегрування раціональних дробів методом невизначених коефіцієнтів пропонуємо проводити з використанням наступної послідовності. Алгоритм методу невизначених коефіцієнтів. 1. Перетворити даний дріб в правильний. 2. Перетворити знаменник в добуток найпростіших многочленів. 3. Записати правильний дріб в вигляді суми найпростіших дробів І-ІV типів, де в чисельнику стоять невизначені коефіцієнти.

Изображение слайда
12

Слайд 12

4. Звести суму найпростіших дробів до спільного знаменника і отримати СЛАР, прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях змінної. 5. Розв’язок СЛАР дає невизначені коефіцієнти. 6. Кінцевий результат отримуємо після обчислення інтегралів від многочлена і найпростіших дробів. Приклад 2. Знайти інтеграл.

Изображение слайда
13

Слайд 13

Розв’язання. Підінтегральний дріб правильний, розкладаємо знаменник на множники , одержимо Знаменники першого і останнього дробу рівні, тому прирівняємо їх чисельники: – ця рівність можлива лише тоді, коли коефіцієнти при однакових степенях рівні, тобто складаємо СЛАР:. Інтегруючи цю рівність, маємо:

Изображение слайда
14

Последний слайд презентации: Лекція 6 Тема. Інтегрування раціональних дробів

4. Інтеграли, які не виражаються через елементарні функції. Існують функції, інтеграли від яких не виражаються через елементарні функції. Наприклад, (інтегральний синус), (інтегральний косинус), ( останній часто застосовують у теорії ймовірностей). Такі інтеграли обчислюють за допомогою рядів або нескінчених добутків елементарних функцій.

Изображение слайда