Презентация на тему: Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в

Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в
1/39
Средняя оценка: 4.5/5 (всего оценок: 60)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (1073 Кб)
1

Первый слайд презентации

Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в предыдущих главах расчеты на растяжение (сжатие) и кручение позволяют сделать вывод, что площадь поперечного сечения бруса является геометрической характеристикой его прочности и жесткости лишь при равномерном распределении напряжений по поперечному сечению. При неравномерном распределении напряжений, имеющем место при работе бруса на кручение, его прочность и жесткость зависят от геометрической характеристики — полярного момента инерции (для бруса круглого сечения).

Изображение слайда
2

Слайд 2

Нетрудно убедиться, что и в случае изгиба бруса площадь сечения не может служить характеристикой его жесткости. Действительно, из двух брусьев ( рис.1 ) с равновеликими площадями поперечных сечений первый при данной нагрузке деформируется значительно сильнее второго (например, при h:b = 2 прогибы первого бруса в 4 раза больше, чем второго ). Рис.1

Изображение слайда
3

Слайд 3

Эта лекция посвящена ознакомлению со свойствами и методами вычисления специальных геометрических характери стик плоских сечений, используемых при расчетах на изгиб, на изгиб с растяжением и в ряде других случаев. Вычисление этих характеристик связано с необходимостью определения координат центра тяжести сечения ; при этом в расчетные зависимости входят геометрические характеристики, называемые статическими моментами сечения.

Изображение слайда
4

Слайд 4

Статическим моментом плоского сечения (рис. 2 ) относительно оси Ои называется взятая по всей площади сечения сумма произведений площадей элементарных площадок на их расстояния до этой оси, т. е. Аналогично, статический момент сечения относительно оси Ov Очевидно, статический момент имеет размерность длины в третьей степени (м 3, см 3, мм 3 ). Рис.2

Изображение слайда
5

Слайд 5

В зависимости от положения оси, относительно которой вычисляется статический момент, он может быть положительным, отрицательным или равным нулю. При известных статических моментах и площади сечения координаты его центра тяжести определяют по формулам В случае известных координат центра тяжести статические моменты определяют из выражений (1)

Изображение слайда
6

Слайд 6

Из формул ( 1 ) вытекает весьма важное для дальнейшего следствие: относительно любой центральной, т. е. проходящей через центр тяжести, оси сечения его статический момент равен нулю. В тех случаях, когда сечение может быть разбито на простейшие составные части, площади и координаты центров тяжести которых известны, положение центра тяжести всего сечения определяют по формулам F i – площадь i - й части сечения, u ci и v ci – координаты центров тяжести i – й части сечения

Изображение слайда
7

Слайд 7

ОСЕВЫЕ И ЦЕНТРОБЕЖНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ Осевым моментом инерции плоского сечения относительно данной оси называется взятая по всей площади сечения сумма произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до этой оси (рис. 3). Из этого определения следует, что момент инерции относительно оси Ох представляет собой определенный интеграл: Рис.3

Изображение слайда
8

Слайд 8

Аналогично, момент инерции относительно оси Оу Осевой момент инерции является величиной существенно положительной, так как независимо от знака координаты произвольной площадки соответствующее слагаемое положительно, ибо в него входит квадрат этой координаты. Размерность осевого момента инерции: длина в четвертой степени (м 4, см 4, мм 4 ).

Изображение слайда
9

Слайд 9

Пользуясь рис. 3, установим связь между полярным и осевыми моментами инерции сечения. По определению но следовательно Окончательно

Изображение слайда
10

Слайд 10

Сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей (начала координат). При определении осевых моментов инерции в некоторых случаях приходится встречаться с еще одной новой геометрической характеристикой — центробежным моментом инерции. Эта геометрическая характеристика представляет собой взятую по всей п лощади сечения сумму произведений площадей элементарных площадок на произведение их расстояний до двух данных взаимно перпендикулярных осей, т. е.

Изображение слайда
11

Слайд 11

Центробежный момент инерции имеет размерность длины в четвертой степени. В зависимости от расположения осей он может быть как положительным, так и отрицательным и в частных случаях равным нулю.

Изображение слайда
12

Слайд 12

ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями (иногда их называют главными осями инерции). Через любую точку, взятую в плоскости сечения, можно провести в общем случае пару главных осей (в некоторых частных случаях их может быть бесчисленное множество ). Для того чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, рассмотрим, как изменяется центробежный момент инерции при повороте осей на 90° (рис. 4 )

Изображение слайда
13

Слайд 13

Для произвольной площадки dF, взятой в первом квадранте системы осей хОу, обе координаты, а следовательно, и их произведение, положительны. В новой системе, координат х 1 Оу 1 повернутой относительно первоначальной на 90°, произведение координат рассматриваемой площадки отрицательно. Абсолютная величина этого произведения не изменяется, т. е. xy = — x 1 y 1. Очевидно, то же имеет место и для любой другой элементарной площадки. Рис.4

Изображение слайда
14

Слайд 14

Значит и знак суммы xy dF, представляющей собой центробежный момент инерции сечения, при повороте осей на 90° меняется на противоположный, т. е. В процессе поворота осей, очевидно, центробежный момент инерции изменяется непрерывно, и, следовательно, при некотором положении осей он становится равным нулю. Эти оси и являются главными.

Изображение слайда
15

Слайд 15

Рассмотрим сечение, имеющее по меньшей мере одну ось симметрии (рис.5). Рис.5 Проведем через центр тяжести сечения ось Ох, перпендикулярную оси симметрии Оу, и определим центробежный момент инерции I xy. Воспользуемся известным из курса математики свойством определенного интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов) и представим I xy в виде двух слагаемых

Изображение слайда
16

Слайд 16

Очевидно так как для любой элементарной площадки, расположенной справа от оси симметрии, есть соответствующая — слева, для которой произведение координат отличается лишь знаком. Таким образом, центробежный момент инерции относительно осей Ох и Оу оказался равным нулю, т. е. это главные оси. Итак, для нахождения главных осей симметричного сечения достаточно найти положение его центра тяжести. Одной из главных центральных осей является ось симметрии, вторая — ей перпендикулярна.

Изображение слайда
17

Слайд 17

Осевые моменты инерции относительно главных центральных осей называются главными центральными (или сокращенно главными) моментами инерции. Относительно одной из главных осей момент инерции максимален, относительно другой — минимален. Например, для сечения, изображенного на рис. 5, максимальным является момент инерции I х (относительно оси Ох). Конечно, говоря об экстремальности главных моментов инерции, имеется в виду лишь их сравнение с другими моментами инерции, вычисленными относительно осей, проходящих через ту же точку сечения.

Изображение слайда
18

Слайд 18

ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ Установим зависимость между осевыми моментами инерции относительно двух параллельных осей, из которых одна является центральной (рис.6) Рис.6 Пусть момент инерции I Xo относительно центральной оси, площадь сечения F и расстояние а между осями х 0 и х 1 известны.

Изображение слайда
19

Слайд 19

Определим момент инерции. Расстояние от произвольной площадки dF до оси х 0 обозначим, а до оси обозначим. По определению, Из рисунка 6 Рис.6 Подставляя значение в выраже н ие для, имеем

Изображение слайда
20

Слайд 20

Учитывая, что, по определению и получаем Ось x 0 по условию является центральной, следовательно, Тогда Аналогично

Изображение слайда
21

Слайд 21

Выведем зависимость между центробежными моментами инерции относительно центральных осей х 0 Оу 0 и параллельных им нецентральных осей. По определению, По рис. 6 имеем После подстановки величин и в подынтегральное выражение получаем

Изображение слайда
22

Слайд 22

Учитывая, что =0 и, окончательно имеем При применении этой формулы величины а и с надо подставлять с их знаками, устанавливаемыми на основании очевидного положения, что а и с представляют собой координаты начала одной из систем координат в другой системе. Так, при расположении осей по рис.6 величины а и с положительны, если рассматривать их как координаты точки О в системе координат. Обе эти величины отрицательны, если считать их координатами точки в системе х 0 Оу 0.

Изображение слайда
23

Слайд 23

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ НЕКОТОРЫХ ПРОСТЕЙШИХ СЕЧЕНИЙ Круг и кольцо (рис. 7 ). Воспользуемся зависимостью между полярным и осевыми моментами инерции: В данном случае в силу симметрии, очевидно, I x = I y следовательно, или Рис.7

Изображение слайда
24

Слайд 24

Как известно, для круга и кольца Таким образом, главные моменты инерции в рассматриваемом случае имеют следующие значения: для круга Для кольца

Изображение слайда
25

Слайд 25

Прямоугольник (рис. 8 ). Определим сначала момент инерции I X1 относительно оси х 1 совпадающей с основанием. По определению, Разобьем сечение на элементарные прямоугольники (полоски) шириной b и толщиной (высотой), тогда dF = b. Подставляя значение dF в выражение для I X1 и интегрируя, получаем Рис.8

Изображение слайда
26

Слайд 26

Главный центральный момент инерции- I x найдем, применив формулу для определения момента инерции при параллельном переносе осей В данном случае расстояние между осями а = и F= b h Аналогично, относительно оси у

Изображение слайда
27

Слайд 27

Вообще следует запомнить, что в выражение для момента инерции прямоугольника размер стороны, перпендикулярной рассматриваемой оси, входит в третьей сте п ени. Для квадрата со стороной b имеем

Изображение слайда
28

Слайд 28

Треугольник (рис. 9 ). Вычислим сначала момент инерции I X1 относительно оси, совпадающей с основанием. Разбивая сечение на элементарные полоски, как показано на рис. 9, имеем Рис.9 Из подобия треугольников ABC и или

Изображение слайда
29

Слайд 29

Подставляя в выражение для и интегрируя, находим Момент инерции относительно центральной оси х найдем, применив формулу для определения момента инерции при параллельном переносе осей

Изображение слайда
30

Слайд 30

В данном случае и Обратим внимание, что для произвольного треугольника ось х не является главной. Для равнобедренного треугольника (рис. 10) оси х и у главные, так как ось у является осью симметрии. Рис. 10

Изображение слайда
31

Слайд 31

ГЛАВНЫЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ НЕСИММЕТРИЧНЫХ СЕЧЕНИЙ Установим, как изменяются величины осевых и центробежного момента инерции при повороте осей координат на произвольный угол  (рис. 11). Будем считать моменты инерции, и известными и определим значения, и рис. 11

Изображение слайда
32

Слайд 32

Для этого в первую очередь установим связь между координатами, и, произвольной элементарной площадки. Отрезок OK= представим как сумму отрезков OA и AK=BD (см. рис. 11 ). Из прямоугольных треугольников OAL и BDL имеем и Следовательно

Изображение слайда
33

Слайд 33

Аналогично найдем и ли окончательно По определению подставив значение по выражению ( 2 ), получим

Изображение слайда
34

Слайд 34

Учитывая, что Учитывая известные тригонометрические тождества: переходим к функциям угла 2 .

Изображение слайда
35

Слайд 35

Если проделать эту процедуру и для и, то получим следующие формулы преобразования моментов инерции при повороте координатных осей Складываем (3) и (4) уравнения, получаем

Изображение слайда
36

Слайд 36

Выражение (6) показывает, что сумма осевых моментов инерции при повороте осей не меняется. Следовательно путем поворота осей можно получить оси относительно которых осевые моменты принимают экстремальные значения. Найдем положение этих осей. Для этого в озьмем выражений (3) и исследуем его на экстремум Если продифференцировать (4) выражение, то получим

Изображение слайда
37

Слайд 37

Следовательно, условием существования экстремума будет Это будет иметь место при откуда

Изображение слайда
38

Слайд 38

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а моменты инерции принимают экстремальные значения называются главными осями. Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Если главные оси проходят через центр тяжести сечения они называются главными центральными осями, а моменты инерции относительно этих осей называют главными центральными моментами. Положение главных осей задается выражением (7)

Изображение слайда
39

Последний слайд презентации: Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Рассмотренные в

Если использовать выражение (7) и для исключения из уравнений (3) и (4) функций угла 2 , то получим формулу для определения главных моментов инерции

Изображение слайда