ФОРМУЛА СТОКСА ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО
Формула Стокса (связь КИ с ПИ) 2. Формула Остроградского ( связь ПИ с тройным интегралом) Стокс Джордж Габриель (1819 – 1903) Остроградский Михаил Васильевич (1801-1861)
Обозначения: гладкая двусторонняя поверхность в пространстве непрерывные функции гладкий контур – нормаль к – непрерывно-дифференцируемые на функции Указание. Изобразить рисунок 1
Имеет место следующая формула Стокса:
или в развёрнутом виде:
Доказательство Перегруппируем слагаемые правой части формулы:
Преобразуем интеграл с функцией Так как
то
(1)
Преобразуем интеграл с функцией Так как , (2)
То
(2)
Преобразуем интеграл с функцией Так как ,
то
(3)
В силу равенств (1) –(3), имеет место формула Стокса:
Частный случай. Пусть Имеет место формула Грина:
Пример По формуле Стокса привести криволинейный интеграл второго рода , к двойному интегралу, где кривая ограничивает поверхность . Указание. Изобразить рисунок 2
Решение
Так как , то Тогда
Обозначения: тело в гладкая замкнутая поверхность, ограничивающая нижняя часть верхняя часть боковая часть непрерывные функции – непрерывно-дифференцируемые вместе со своими на функции
Указание. Изобразить рисунок 3 Имеет место следующая формула Остроградского: Доказательство. Покажем, что (4)
Преобразуем так как к поверхности с положительным направлением оси составляет тупой угол
Тогда Так как к поверхности с положительным направлением оси составляет угол, то
В силу этого, Или
Аналогично можно показать, что (5) (6)
В силу равенств ( 4 ) –( 6 ), имеет место формула Остроградского
Пример. Криволинейный интеграл , где ограничена плоскостями 1) по формуле Остроградского привести к тройному интегралу; 2) привести к двойному интегралу. Указание. Изобразить рисунок 4
Решение 1 способ ( формула Остроградского)
2 способ (непосредственное вычисление)
Так как то Т.е.,
Slide-Share