Презентация на тему: ЛЕКЦИЯ 7

Реклама. Продолжение ниже
ЛЕКЦИЯ 7
План лекции
1. Формула Грина (связь КИ II рода с двойным интегралом) Джордж Грин (1793-1841)
продолжение
продолжение
продолжение
продолжение
продолжение
продолжение
2. Приложения КИ первого рода
ПРОДОЛЖЕНИЕ
ПРОДОЛЖЕНИЕ
3. Приложения КИ второго рода
продолжение
продолжение
продолжение
продолжение
продолжение
продолжение
продолжение
продолжение
4. Интеграл от полного дифференциала
продолжение
продолжение
продолжение
продолжение
продолжение
продолжение
продолжение
продолжение
продолжение
продолжение
продолжение
продолжение
продолжение
продолжение
продолжение
1/37
Средняя оценка: 4.1/5 (всего оценок: 52)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (1398 Кб)
Реклама. Продолжение ниже
1

Первый слайд презентации: ЛЕКЦИЯ 7

ФОРМУЛА ГРИНА ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Изображение слайда
1/1
2

Слайд 2: План лекции

1. Формула Грина 2. Приложения КИ I рода 3. Приложения КИ II рода 4. Интеграл от полного дифференциала 5. Нахождение функции по её полному дифференциалу

Изображение слайда
1/1
3

Слайд 3: 1. Формула Грина (связь КИ II рода с двойным интегралом) Джордж Грин (1793-1841)

Теорема Пусть – непрерывные – простая односвязная область – гладкая граница Тогда имеет место формула Грина

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
4

Слайд 4: продолжение

Доказательство D: : Указание. Рисунок 1 Покажем, что (1)

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
5

Слайд 5: продолжение

В двойном интеграле прейдём к повторным:

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
6

Слайд 6: продолжение

Интеграл преобразуем в криволинейный: Получили, что

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
7

Слайд 7: продолжение

Аналогично, получим, что Так как по отрезкам приращение по равно нулю, то

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
Реклама. Продолжение ниже
8

Слайд 8: продолжение

Таким образом, =

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
9

Слайд 9: продолжение

Аналогично, ( 2 ) В силу (1) и (2), имеет место следующая формула Грина:

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
10

Слайд 10: 2. Приложения КИ первого рода

Длина дуги кривой Масса дуги кривой

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
11

Слайд 11: ПРОДОЛЖЕНИЕ

Статические моменты дуги кривой , Центр масс дуги кривой

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
12

Слайд 12: ПРОДОЛЖЕНИЕ

Моменты инерции дуги кривой ,

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
13

Слайд 13: 3. Приложения КИ второго рода

Работа , – работа материальной точки в – сила, действующая на – элемент радиус-вектора

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
14

Слайд 14: продолжение

Площадь плоской фигуры – простая односвязная область – замкнутый гладкий контур S – площадь области (3) Покажем, что эта формула верна

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
Реклама. Продолжение ниже
15

Слайд 15: продолжение

Рассмотрим область D, где D : : Указание. Повторить рисунок 1 Известно, что

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
16

Слайд 16: продолжение

Т.е.,

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
17

Слайд 17: продолжение

От определённых интегралов перейдём к криволинейным: ( 4)

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
18

Слайд 18: продолжение

Рассмотрим область D, где D: : Указание. Рисунок 2

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
19

Слайд 19: продолжение

Аналогично, можно показать, что ( 5 )

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
20

Слайд 20: продолжение

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой. Решение. Можно использовать одну из формул

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
21

Слайд 21: продолжение

Воспользуемся формулой: Ответ..

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
22

Слайд 22: 4. Интеграл от полного дифференциала

Теорема Пусть функции непрерывны, тогда криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования тогда и только тогда, если есть полный дифференциал некоторой функции, т.е. 4. Интеграл от полного дифференциала

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
23

Слайд 23: продолжение

Доказательство Необходимость Запишем криволинейный интеграл в другом виде (от начальной точки до конечной): Пусть и, тогда имеет место интеграл

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
24

Слайд 24: продолжение

Придадим приращение. Указание. Рисунок 3 С одной стороны,

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
25

Слайд 25: продолжение

С другой стороны, Интеграл от второго равен нулю, так как по приращения нет Т.е.,

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
26

Слайд 26: продолжение

К интегралу в правой части применим теорему о среднем: Обе части поделим на

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
27

Слайд 27: продолжение

Перейдём к пределу: Расфиксируем, тогда получим следующее: (6)

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
28

Слайд 28: продолжение

Аналогично, можно показать, что ( 7 ) В силу (6) и (7), имеет место следующее: или

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
29

Слайд 29: продолжение

Достаточность Пусть кривая задана параметрически :

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
30

Слайд 30: продолжение

Криволинейный интеграл преобразуем:

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
31

Слайд 31: продолжение

Следствие 1 ( необходимое и достаточное условие полного дифференциала) Плоский случай Рассмотрим Пусть , Тогда , Получили необходимое и достаточное условие полного дифференциала

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
32

Слайд 32: продолжение

Пространственный случай, Рассмотрим z Пусть , Тогда ,,,,, Получили необходимое и достаточное условие полного дифференциала

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
33

Слайд 33: продолжение

Следствие 2 (интеграл по замкнутому контуру) – замкнутый контур В самом деле,

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
34

Слайд 34: продолжение

5. Нахождение функции по её полному дифференциалу Плоский случай Пусть , тогда криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Замечание. Путь интегрирования проложить по прямым параллельным осям координат. Если О(0,0) – не особая точка, то путь следует начинать с начала координат.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
35

Слайд 35: продолжение

Пример. Восстановить функцию, если . Решение. Начальная точка пути интегрирования – О(0,0), конечная – А( ) 3

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
36

Слайд 36: продолжение

Указание. Рисунок 4 Замечание. Так как О(0,0) – не особая точка, то п уть интегрирования нарисовать от точки О(0,0 ) до точки А(, 0), затем от точки А(, 0 ) до точки B ( y ). Ответ.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
37

Последний слайд презентации: ЛЕКЦИЯ 7: продолжение

Пространственный случай Пусть тогда криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2