ФОРМУЛА ГРИНА ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1. Формула Грина 2. Приложения КИ I рода 3. Приложения КИ II рода 4. Интеграл от полного дифференциала 5. Нахождение функции по её полному дифференциалу
Теорема Пусть – непрерывные – простая односвязная область – гладкая граница Тогда имеет место формула Грина
Доказательство D: : Указание. Рисунок 1 Покажем, что (1)
В двойном интеграле прейдём к повторным:
Интеграл преобразуем в криволинейный: Получили, что
Аналогично, получим, что Так как по отрезкам приращение по равно нулю, то
Таким образом, =
Аналогично, ( 2 ) В силу (1) и (2), имеет место следующая формула Грина:
Длина дуги кривой Масса дуги кривой
Статические моменты дуги кривой , Центр масс дуги кривой
Моменты инерции дуги кривой ,
Работа , – работа материальной точки в – сила, действующая на – элемент радиус-вектора
Площадь плоской фигуры – простая односвязная область – замкнутый гладкий контур S – площадь области (3) Покажем, что эта формула верна
Рассмотрим область D, где D : : Указание. Повторить рисунок 1 Известно, что
Т.е.,
От определённых интегралов перейдём к криволинейным: ( 4)
Рассмотрим область D, где D: : Указание. Рисунок 2
Аналогично, можно показать, что ( 5 )
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой. Решение. Можно использовать одну из формул
Воспользуемся формулой: Ответ..
Теорема Пусть функции непрерывны, тогда криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования тогда и только тогда, если есть полный дифференциал некоторой функции, т.е. 4. Интеграл от полного дифференциала
Доказательство Необходимость Запишем криволинейный интеграл в другом виде (от начальной точки до конечной): Пусть и, тогда имеет место интеграл
Придадим приращение. Указание. Рисунок 3 С одной стороны,
С другой стороны, Интеграл от второго равен нулю, так как по приращения нет Т.е.,
К интегралу в правой части применим теорему о среднем: Обе части поделим на
Перейдём к пределу: Расфиксируем, тогда получим следующее: (6)
Аналогично, можно показать, что ( 7 ) В силу (6) и (7), имеет место следующее: или
Достаточность Пусть кривая задана параметрически :
Криволинейный интеграл преобразуем:
Следствие 1 ( необходимое и достаточное условие полного дифференциала) Плоский случай Рассмотрим Пусть , Тогда , Получили необходимое и достаточное условие полного дифференциала
Пространственный случай, Рассмотрим z Пусть , Тогда ,,,,, Получили необходимое и достаточное условие полного дифференциала
Следствие 2 (интеграл по замкнутому контуру) – замкнутый контур В самом деле,
5. Нахождение функции по её полному дифференциалу Плоский случай Пусть , тогда криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Замечание. Путь интегрирования проложить по прямым параллельным осям координат. Если О(0,0) – не особая точка, то путь следует начинать с начала координат.
Пример. Восстановить функцию, если . Решение. Начальная точка пути интегрирования – О(0,0), конечная – А( ) 3
Указание. Рисунок 4 Замечание. Так как О(0,0) – не особая точка, то п уть интегрирования нарисовать от точки О(0,0 ) до точки А(, 0), затем от точки А(, 0 ) до точки B ( y ). Ответ.
Пространственный случай Пусть тогда криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.
Slide-Share