КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Криволинейный интеграл первого рода (интеграл по кривой) Свойства Формулы вычисления II. Криволинейный интеграл второго рода (интеграл по координатам) Свойства Формулы вычисления III. Связь КИ первого и второго родов
Обозначения: – гладкая спрямляемая кривая – масса l – длина – плотность Определение Задача. Найти массу материальной кривой длины l плотности.
Обозначения: – спрямляемая дуга без самопересечений – элемент – д лина – м асса – произвольная точка на – п лотность в точке
Определение
Теорема ( о существовании КИ первого рода) – дифференцируемые функции – непрерывная на функция
Доказательство
Аддитивность Линейность Независимость от пути интегрирования
Явное задание кривой
Пример. Вычислить, где – начало кривой, – конец кривой. Решение Ответ.
Параметрическое задание кривой
Пример. Вычислить, где. Решение. Ответ..
Полярное задание кривой
Пример. Вычислить, где. Решение. Ответ.
Обозначения: – работа материальной точки – сила, действующая на – путь, пройденный под действием Определение
Задача. Найти работу материальной точки, прошедшей некоторый путь под действием определённой силы. Обозначения: – элемент – сила, действующая на – радиус-вектор – элемент
– одна из компонент Определение
Координатная запись КИ II рода на плоскости
в пространстве
Теорема ( о существовании КИ второго рода ) непрерывная функция на , – непрерывная функция
Доказательство
Аддитивность Линейность Зависимость КИ II рода от направления и формы пути интегрирования зависимость от направления пути
зависимость от формы – незамкнутый контур – замкнутый контур
Явное задание кривой Пример Вычислить, где – начало кривой, – конец кривой. Ответ. 1
Параметрическое задание кривой Пример Вычислить, где. Ответ. 0
– гладкая и спрямляемая – начало кривой – конец кривой функции
Обозначения: – элемент – и осью – и осью y – и осью
Slide-Share