Часть I ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА
Поверхности и поверхностные интегралы Поверхностный интеграл первого рода
Отображения – отображение Указание. Изобразить рисунок 1 – отображение Указание. Изобразить рисунок 2
Определение (гомеоморфное отображение ) Отображение называется гомеоморфным, если в пространстве оно представляет собой взаимно однозначное соответствие между точками промежутка и кривой, в пространстве между точками
Классификация поверхностей а) по принадлежности : – кривые – области – поверхности ..................... – поверхности б) по принадлежности классу : – кусочно-гладкие – гладкие – гладкие порядка 2 ..................... – гладкие порядка
в ) по ориентации: двусторонние Указание. Изобразить рисунок 3 В этом случае точка М после обхода S, не пересекая её границы Г, вернётся в прежнее положение с тем же направлением нормали. односторонние Указание. Смотреть рисунок на фото В этом случае точка М после обхода S, не пересекая её границы Г, вернётся в прежнее положение с противоположным направлением нормали. Пример. Лист Мёбиуса Автор: Мёбиус Август Фердинант (1790-1868)
г) по полноте: замкнутые и незамкнутые Сторона и ориентация поверхности зависит от направления нормали к поверхности. Пусть – замкнутая. Поверхность имеет две стороны: внешнюю, где к направлена во вне, внутреннюю, где к направлена во внутрь Ориентация : положительная по внешней стороне, отрицательная по внутренней стороне Указание. Изобразить рисунок 4 Пусть – незамкнутая. Поверхность имеет две стороны: верхнюю, где к направлена вверх, нижнюю, где к направлена вниз Ориентация : положительная, если точка M обходит против часовой стрелки, отрицательная, если точка M обходит по часовой стрелке Указание. Изобразить рисунок 5
Рассмотрим двойной интеграл Обобщение ПИ первого рода ПИ второго рода (по поверхности) (по координатам)
Обозначения: : – поверхность в – элемент – площадь элемента – произвольная точка в – непрерывно дифференцируемая на функция Указание. Изобразить рисунок 6
Составим интегральную сумму Римана, соответствующую функции : Определение Если существует и конечен то он называется поверхностным интегралом первого рода и обозначается
Свойства Аддитивность Линейность Независимость от выбора стороны поверхности
Связь поверхностного интеграла первого рода с двойным интегралом Явное задание поверхности
Параметрическое задание поверхности
Пример. Привести к двойному интеграл поверхностный интеграл первого рода , где – поверхность тела, ограниченного плоскостью, полусферой, конусом.
Решение. Указание. Изобразить рисунок 7 – интеграл по – интеграл по – интеграл по
или
Slide-Share