Презентация на тему: Лекція 3 Тема. Застосування диференціального числення функцій кількох змінних

Лекція 3 Тема. Застосування диференціального числення функцій кількох змінних.
Лекція 3 Тема. Застосування диференціального числення функцій кількох змінних.
2. Безумовні екстремуми функції двох змінних.
Лекція 3 Тема. Застосування диференціального числення функцій кількох змінних.
Лекція 3 Тема. Застосування диференціального числення функцій кількох змінних.
Лекція 3 Тема. Застосування диференціального числення функцій кількох змінних.
Лекція 3 Тема. Застосування диференціального числення функцій кількох змінних.
Лекція 3 Тема. Застосування диференціального числення функцій кількох змінних.
Лекція 3 Тема. Застосування диференціального числення функцій кількох змінних.
Лекція 3 Тема. Застосування диференціального числення функцій кількох змінних.
3. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області.
Лекція 3 Тема. Застосування диференціального числення функцій кількох змінних.
Лекція 3 Тема. Застосування диференціального числення функцій кількох змінних.
Лекція 3 Тема. Застосування диференціального числення функцій кількох змінних.
Лекція 3 Тема. Застосування диференціального числення функцій кількох змінних.
Лекція 3 Тема. Застосування диференціального числення функцій кількох змінних.
4. Умовний екстремум. Метод Лагранжа.
Лекція 3 Тема. Застосування диференціального числення функцій кількох змінних.
Лекція 3 Тема. Застосування диференціального числення функцій кількох змінних.
Лекція 3 Тема. Застосування диференціального числення функцій кількох змінних.
Лекція 3 Тема. Застосування диференціального числення функцій кількох змінних.
1/21
Средняя оценка: 4.2/5 (всего оценок: 22)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (241 Кб)
1

Первый слайд презентации: Лекція 3 Тема. Застосування диференціального числення функцій кількох змінних

1. Поняття екстремуму. Означення 1. Функція кількох змінних має максимум в точці якщо для всіх точок М із досить малого околу точки М 0. Означення 2. Функція кількох змінних має мінімум в точці М 0, якщо для всіх точок М із досить малого околу точки М 0.

Изображение слайда
2

Слайд 2

Означення 3. Максимум та мінімум функції кількох змінних називають екстремумами функції, а точку М 0, де функція має екстремум, називають точкою екстремуму функції. Необхідна умова існування екстремуму. Теорема 1. Якщо функція має екстремум в точці то кожна частинна похідна першого порядку функції дорівнює нулю або не існує в цій точці. Означення 4. Точки, в яких не існують або дорівнюють нулю називають критичними точками або підозрілими на екстремум.

Изображение слайда
3

Слайд 3: 2. Безумовні екстремуми функції двох змінних

Означення 5. Точка називається точкою максимуму функції, якщо існує окіл точки М 0 такий, що для всіх точок (х; у) з цього околу виконується нерівність (рис. 1). Означення 6. Точка називається точкою мінімуму функції, якщо існує окіл точки М 0 такий, що для всіх точок (х; у) з цього околу виконується нерівність (рис. 2).

Изображение слайда
4

Слайд 4

z M 0 ( x 0 ; y 0 ) 0 y x z M 0 ( x 0 ; y 0 ) 0 y x

Изображение слайда
5

Слайд 5

Означення 7. Відповідні значення функції називають максимальним та мінімальним значенням функції. Означення 8. Максимум і мінімум функції двох змінних називають екстремумами функції. Якщо строгі нерівності замінити на не строгі, то точка М 0 називається точкою нестрогого екстремуму.

Изображение слайда
6

Слайд 6

Необхідні умови існування екстремуму. Якщо в точці диференційована функція має екстремум, то її частинні похідні в цій точці дорівнюють нулю, тобто. Точки, в яких виконуються необхідні умови, називають критичними або стаціонарними (або підозрілими на екстремум).

Изображение слайда
7

Слайд 7

Достатні умови існування екстремуму. Нехай функція визначена в деякому околі критичної точки (х 0 ; у 0 ) і має в цій точці неперервні похідні другого порядку: Якщо,, то в точці (х 0 ; у 0 ) функція має максимум; Якщо,, то в точці (х 0 ; у 0 ) функція має мінімум;

Изображение слайда
8

Слайд 8

якщо, то в точці (х 0 ; у 0 ) функція екстремуму не має; якщо, то застосовують іншу ознаку. Схема дослідження функції на екстремум (безумовний). 1. Знайти область визначення функції. 2. Знайти частинні похідні першого порядку та 3. Розв ’ язати систему та знайти критичні точки. 4. Знайти частинні похідні другого порядку і обчислити їх значення в критичних точках. 5. За достатніми ознаками зробити висновок про екстремум. 6. Знайти значення функції в точках екстремуму.

Изображение слайда
9

Слайд 9

Приклад 1. Дослідити на екстремум функцію . Розв’язання. Функція визначена для всіх дійсних х та у. Знайдемо частинні похідні першого порядку: Використаємо необхідну умову існування екстремуму: Отже, – критична точка.

Изображение слайда
10

Слайд 10

Знайдемо частинні похідні другого порядку Знайдемо значення частинних похідних, тобто Тоді і, тобто, за достатніми ознаками функція має мінімум. Отже,

Изображение слайда
11

Слайд 11: 3. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області

Найбільше та найменше значення функції знаходять у такій послідовності: 1. Знаходять в цій області критичні точки. 2. На межі області за допомогою рівняння межі функцію зводять до функції однієї змінної, для якої знаходять критичні точки. 3. Знаходять значення функції в усіх знайдених критичних точках і в кутових точках межі області. 4. Серед цих значень вибирають найбільше та найменше.

Изображение слайда
12

Слайд 12

Приклад 2. Знайти найбільше та найменше значення функції z = x 2 – xy + y 2 -4 x в області D, що обмежена лініями x =0, y =0, 2 x +3 y -12=0. Розв’язання. Знайдемо критичні точки функції Точка лежить в середині області D (рис. 3).

Изображение слайда
13

Слайд 13

Рис. 3.

Изображение слайда
14

Слайд 14

Знайдемо значення функції в точці . Дослідимо функцію на межі області. Якщо то. Критична точка. Значення функції в цій точці. Значення функції в кутовій точці Якщо, то, . Критична точка. Значення функції в критичній точці.

Изображение слайда
15

Слайд 15

Значення функції в кутовій точці . Якщо то

Изображение слайда
16

Слайд 16

Критична точка Значення функції у критичній точці. Серед знайдених значень вибираємо найбільше та, а найменше .

Изображение слайда
17

Слайд 17: 4. Умовний екстремум. Метод Лагранжа

Часто зустрічається задача знаходження екстремуму функції двох змінних при наявності додаткових умов на її аргументи. Такі екстремуми називають умовними. Нехай потрібно знайти екстремум функції при умові (рівняння зв’язку).

Изображение слайда
18

Слайд 18

Алгоритм знаходження умовного екстремуму методом Лагранжа. 1. Записати функцію Лагранжа де деяке число, що називається множником Лагранжа. 2. Знайти критичні точки функції Лагранжа за необхідними умовами існування екстремуму: або

Изображение слайда
19

Слайд 19

3. Перевірити в кожній критичній точці достатні умови існування екстремуму: а) якщо, то – точка максимуму ; б) якщо, то – точка мінімуму. 4. Знайти значення функції у точках максимуму чи мінімуму. Приклад 3. Знайти екстремум функції z = x +2 y при умові x 2 + y 2 =5.

Изображение слайда
20

Слайд 20

Розв’язання. Запишемо функцію Лагранжа Необхідна умова існування екстремуму має вигляд Розв’язками системи є точки Перевіримо достатні умови існування екстремуму Обчислимо визначник

Изображение слайда
21

Последний слайд презентации: Лекція 3 Тема. Застосування диференціального числення функцій кількох змінних

В точці М 1 маємо: Отже, в точці М 1 функція має максимум В точці М 2 маємо: Отже, в точці М 2 функція має мінімум

Изображение слайда