Презентация на тему: Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить

Реклама. Продолжение ниже
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить
1/39
Средняя оценка: 4.0/5 (всего оценок: 47)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (461 Кб)
Реклама. Продолжение ниже
1

Первый слайд презентации

Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить методы нахождения корней уравнения с одной переменной.

Изображение слайда
1/1
2

Слайд 2

Общие сведения и основные определения. Наиболее общий вид нелинейного уравнения: где функция определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале .

Изображение слайда
1/1
3

Слайд 3

Определение 2.1. Всякое число , обращающее функцию в нуль, называется корнем уравнения (2,1).

Изображение слайда
1/1
4

Слайд 4

Определение 2.2. Число называется корнем -ой кратности, если при вместе с функцией равны нулю ее производные до -го порядка включительно: (2.2)

Изображение слайда
1/1
5

Слайд 5

Определение 2.3. Однократный корень называется простым. Определение 2.4. Уравнения и называются равносильными (эквивалентными), если множества решений данных уравнений совпадают. Нелинейные уравнения с одной переменной подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

Изображение слайда
1/1
6

Слайд 6

Определение 2.5. Уравнение (2.1) называется алгебраическим, является если функция алгебраической. Путем алгебраических преобразований из всякого уравнения можно получить уравнение в канонической форме: (2.3)

Изображение слайда
1/1
7

Слайд 7

Из алгебры известно, что всякое алгебраическое уравнение имеет, по крайней мере, один вещественный или два комплексно сопряженных корня. действительные -неизвестное. где коэффициенты уравнения,

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже
8

Слайд 8

Определение 2.6. Уравнение (2.1) называется трансцендентным, если функция не является алгебраической. Определение 2.7. Решить уравнение (2.1) означает: Установить имеет ли уравнение корни. Определить число корней уравнения. Найти значение корней уравнения с заданной точностью.

Изображение слайда
1/1
9

Слайд 9

Отделение корней Определение 2.8. Отделение корней – процедура нахождения отрезков, на которых уравнение (2.1) имеет только одно решение. В большинстве случаев отделение корней можно провести графически. Для этого достаточно построить график функции и определить отрезки, на которых эта функция имеет только одну точку пересечения с осью абсцисс.

Изображение слайда
1/1
10

Слайд 10

В сомнительных случаях графическое отделение корней необходимо подкреплять вычислениями. При этом можно использовать следующие очевидные положения: если непрерывная функция принимает на концах отрезка значения разных знаков (т. е. ), то уравнение (2.1) имеет на этом отрезке по меньшей мере один корень; если функция к тому же и строго монотонна, то корень на отрезке единственный.

Изображение слайда
1/1
11

Слайд 11

Метод половинного деления Пусть уравнение (2.1) имеет на отрезке единственный корень, причем функция на данном отрезке непрерывна (рис. 2.1.) Разделим отрезок пополам точкой . Если , то возможны два случая: 1. Функция меняет знак на отрезке 2. Функция меняет знак на отрезке

Изображение слайда
1/1
12

Слайд 12

a b c x y Выбирая в каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.

Изображение слайда
1/1
13

Слайд 13

Пример. Отделить корни уравнения Составляем схему: х f(x) x f(x) - -3 -1 0 - - + + 1 3 + - + +

Изображение слайда
1/1
14

Слайд 14

Анализ схемы показывает, что исходное уравнение имеет три действительных корня, лежащих в интервалах Если существует непрерывная производная и корни уравнения легко вычисляются, то достаточно подсчитать лишь знаки функции в точках корней её производной и в граничных точках.

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже
15

Слайд 15

Пример. Отделить точки уравнения Имеем поэтому при Имеем Следовательно, наше уравнение имеет только два действительных корня: один в интервале а другой - в интервале

Изображение слайда
1/1
16

Слайд 16

Дадим оценку погрешности приближенного корня. Теорема. Пусть -точный, а приближенный корни уравнения находящиеся на одном и том же отрезке причем при

Изображение слайда
1/1
17

Слайд 17

В таком случае оценка погрешности приближенного корня За можно взять наименьшее значение при Пример. Приближенным корнем уравнения является

Изображение слайда
1/1
18

Слайд 18

Оценить абсолютную погрешность этого корня. имеем Т.к. при получаем то точный корень содержится в интервале

Изображение слайда
1/1
19

Слайд 19

Производная монотонно возрастает. Поэтому её наименьшим значением в данном интервале является

Изображение слайда
1/1
20

Слайд 20

Графическое решение уравнений Действительные корни уравнения приближенно можно определить как абсциссы точек пересечения графика функции с осью На практике выгодно исходное уравнение заменить равносильным ему уравнением где более простые, чем

Изображение слайда
1/1
21

Слайд 21

Пример. Графически решить уравнение Запишем исходное уравнение в виде Сразу видно, что корни исходного уравнения могут быть найдены как абсциссы точек пересечения кривых и

Изображение слайда
1/1
22

Слайд 22

Пример. Решить кубические уравнения и Построим кубическую параболу Искомые корни находятся как абсциссы точек пересечения этой параболы прямыми и

Изображение слайда
1/1
23

Слайд 23

По чертежу видно, что первое уравнение имеет три действительных корня: ; ; а второе уравнение - лишь один действительный корень Метод хорд Рассмотрим более быстрый способ нахождения корня уравнения лежащего на заданном отрезке

Изображение слайда
1/1
24

Слайд 24

таком, что Пусть Тогда, вместо деления отрезка пополам, разделим его в отношении - что даст приближенное значение корня где

Изображение слайда
1/1
25

Слайд 25

Далее, применяя этот приём к тому из отрезков или на концах которого функция имеет противоположные знаки, получим второе приближение корня и т.д. Геометрически способ хорд эквивалентен замене кривой хордой,

Изображение слайда
1/1
26

Слайд 26

проходящей через точки и Т.к. уравнение хорды получаем

Изображение слайда
1/1
27

Слайд 27

при Пример. Найти положительный корень уравнения с точностью до Прежде всего отделим корень. Так как

Изображение слайда
1/1
28

Слайд 28

То искомый корень лежит в интервале Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам. и Тогда и

Изображение слайда
1/1
29

Слайд 29

Т.к. и при имеем то можно принять Т.е. где

Изображение слайда
1/1
30

Слайд 30

Метод Ньютона (метод касательных ) Пусть корень уравнения отделен на отрезке причем и непрерывны и сохраняют определенные знаки при Найдя какое-нибудь приближенное значение корня мы можем уточнить его по методу Ньютона.

Изображение слайда
1/1
31

Слайд 31

Пусть где малая величина. Применяя формулу Тейлора, получим: Следовательно, Внося эту поправку в найдем следующее (по порядку) приближение корня

Изображение слайда
1/1
32

Слайд 32

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой касательной, проведенной в некоторой точке кривой. Применяя метод Ньютона, следует применять правило: в качестве исходной точки выбирается тот конец интервала, которому отвечает ордината

Изображение слайда
1/1
33

Слайд 33

того же знака, что и знак Метод итераций Пусть дано уравнение где непрерывная функция. Заменим исходное уравнение равносильным Выберем любым способом приближенное значение корня и

Изображение слайда
1/1
34

Слайд 34

подставим его в правую часть уравнения Получим некоторое число подставляя которое в правую часть равенства вместо число получим новое число Повторяя этот процесс, получим последовательность чисел

Изображение слайда
1/1
35

Слайд 35

Если эта последовательность имеет предел то, переходя к пределу в равенстве и предполагая функцию непрерывной, найдем или Таким образом, предел корнем уравнения и может быть вычислен с любой степенью точности. является

Изображение слайда
1/1
36

Слайд 36

Пример. Решить приближенно уравнение Подберем возможно меньший отрезок, у которого значения функции имеют разные: Попробуем уменьшить интервал:

Изображение слайда
1/1
37

Слайд 37

Следовательно, искомый корень находится в интервале Так как то можно принять в качестве исходной точки Получаем:

Изображение слайда
1/1
38

Слайд 38

Далее Проверяем точность решения, для чего устанавливаем значение функции в точке Оно равно Повторяем расчет для точки Значение производной в точке

Изображение слайда
1/1
39

Последний слайд презентации: Лекция 2. Тема. Решение уравнений с одной переменной. Цель лекции. Изучить

Функция для этого значения равна Выполняя аналогичные вычисления, мы получим значения корня Для дифференцируемых функций метод Ньютона имеет более высокую скорость сходимости.

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже