Презентация на тему: Лекция 14. Дифференциальные уравнения

Реклама. Продолжение ниже
Лекция 14. Дифференциальные уравнения
Однородные дифференциальные уравнения
Лекция 14. Дифференциальные уравнения
Лекция 14. Дифференциальные уравнения
Пример.
Линейные дифференциальные уравнения
Лекция 14. Дифференциальные уравнения
Пример.
Уравнение Бернулли
Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
Лекция 14. Дифференциальные уравнения
Лекция 14. Дифференциальные уравнения
Лекция 14. Дифференциальные уравнения
1/13
Средняя оценка: 4.7/5 (всего оценок: 86)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (317 Кб)
Реклама. Продолжение ниже
1

Первый слайд презентации: Лекция 14. Дифференциальные уравнения

Однородные дифференциальные уравнения Линейные дифференциальные уравнения Уравнения Бернулли Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами 1

Изображение слайда
1/1
2

Слайд 2: Однородные дифференциальные уравнения

Функция y = f(x, у ) называется однородной функцией n – ого порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель k вся функция умножится на k n : Однородные дифференциальные уравнения Например, функция является однородной функцией второго порядка, так как: Дифференциальное уравнение называется однородным, если f(x, у ) есть однородная функция нулевого порядка. (1) 2

Изображение слайда
1/1
3

Слайд 3

Однородное дифференциальное уравнение вида (1) приводится к уравнению с разделяющимися переменными при помощи подстановки: 3

Изображение слайда
1/1
4

Слайд 4

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме: Уравнение (2) будет однородным, если P(x; y) и Q(x; y) – однородные функции одинакового порядка. При интегрировании уравнения вида (2) можно сначала привести его к виду (1) или сразу сделать подстановку: (2) 4

Изображение слайда
1/1
5

Слайд 5: Пример

Уравнение является однородным, так как функции: - однородные второго порядка Пусть: 5

Изображение слайда
1/1
6

Слайд 6: Линейные дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде: Метод Бернулли. Решение уравнения ищется в виде произведения двух функций, то есть с помощью подстановки: Где u(x) и v(x) – неизвестные функции, причем одна из них произвольная функция, не равная нулю. (3) 6

Изображение слайда
1/1
7

Слайд 7

Подставим в уравнение (3): Подберем функцию v(x) так, чтобы выражение, стоящее в скобках было равно нулю, то есть решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: Подставим найденную функцию v(x) в уравнение ( * ) Получим еще одно уравнение с разделяющимися переменными, решив которое найдем функцию u(x) ( * ) 7

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
Реклама. Продолжение ниже
8

Слайд 8: Пример

Таким образом, общее решение уравнения: = 0 При нахождении функции v(x) произвольная постоянная С не прибавляется При нахождении функции u(x) произвольная постоянная С прибавляется Положим: 8

Изображение слайда
1/1
9

Слайд 9: Уравнение Бернулли

Уравнение вида Называется уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли решается также, как и линейное уравнение методом Бернулли. (4) 9

Изображение слайда
1/1
10

Слайд 10: Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным ДУ с постоянными коэффициентами называется уравнение вида. (5) 10 Уравнение соответственно на (6) называется характеристическим уравнением ЛОДУ (5). Для его составления достаточно в уравнении (5) заменить

Изображение слайда
1/1
11

Слайд 11

При решении уравнения (6) возможны следующие случаи: Корни уравнения (6) k 1 и k 2 действительны и различны: В этом случае частными решениями уравнения (5) будут функции: 11 общим решением уравнения (5) будет: Составим характеристическое уравнение:

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
12

Слайд 12

Корни уравнения (6) k 1 и k 2 действительны и равные: В этом случае частным решением уравнения (5) будут функции 12 общим решением уравнения (5) будет: Составим характеристическое уравнение:

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
13

Последний слайд презентации: Лекция 14. Дифференциальные уравнения

Уравнение (6) не имеет действительных корней : 13 Общим решением будет: Составим характеристическое уравнение: где

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
Реклама. Продолжение ниже