ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ ЧАСТЬ 1
Векторное поле Дифференциальные характеристики векторного поля (векторные линии, дивергенция, ротор) Гамильтон Уильям Роуан ( 1805 – 1865 )
1. Векторное поле Определение (векторное поле) Если в каждой точке области пространства определён вектор, в этой области задано векторное поле (поле вектора) или векторная функция Указание. Изобразить рисунок 1.
Координатная запись векторного поля Базисная запись векторного поля
Примеры аналитической записи векторных полей Плоское векторное поле Пространственное векторное поле
Определение (дифференцируемость векторного поля) Векторное поле пространства, если его полное приращение в этой точке представимо в виде: ,,
или
Векторные (силовые) линии – кривая в – точка на – радиус-вектор точки – элемент – непрерывно-дифференцируемое векторное поле
Определение ( векторная линия ) Кривая, в каждой точке которой векторное поле касается этой кривой, называется векторной (силовой) линией поля. Указание. Изобразить рисунок 2. По определению вектор направлен по касательной к кривой, также как и вектор.
Т.е. эти векторы коллинеарны : , – действительное число выглядит следующим образом:
Техника нахождения векторных линий (в декартовых координатах ) Решения этих дифференциальных уравнений и есть векторные линии векторного поля
Пример. Найти силовые линии векторного поля . Решение.
Рассмотрим дифференциальное уравнение: После интегрирования получим: Тогда силовые линии имеют вид:
Рассмотрим дифференциальное уравнение: После интегрирования получим: Тогда силовые линии имеют вид:
Рассмотрим дифференциальное уравнение: После интегрирования получим: Тогда силовые линии имеют вид: Ответ.
Дивергенция векторного поля (расход) – непрерывно-дифференцируемое векторное поле – оператор Гамильтона (оператор «набла») Обозначение: – дивергенция векторного поля
Определение Дивергенцией векторного поля называется скалярная величина , т.е., Запись дивергенции с помощью оператор «набла»:
Физический смысл Так как величины , есть скорости изменения каждой компоненты вектора, то дивергенция определяет скорости изменения компонент этого вектора в направлении этих компонент.
Пример. Найти дивергенцию векторного поля . Решение. ,, , Ответ. 1
Ротор векторного поля (вихрь) – непрерывно-дифференцируемое векторное поле – оператор Гамильтона (оператор «набла ») Обозначение: – ротор в екторного поля
Определение Ротором векторного поля называется вектор с компонентами , т.е., Базисная запись ротора
Символическая запись ротора Запись ротора с помощью оператора «набла »
Замечание (без вихревое поле) Физический смысл : Величины ,, есть скорости изменения каждой компоненты вектора.
Компоненты ротора векторного поля представляют собой смешение скоростей разных компонент этого поля. Поэтому ротор векторного поля определяет скорость изменения компонент этого вектора не только в направлении заданных компонент, но и в направлении других компонент.
Пример. Найти ротор векторного поля . Решение. ,, Ответ. Б ез вихревое поле.
Slide-Share