Презентация на тему: ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)

ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
План лекции:
Понятие производной функции
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
Геометрическая и механическая интерпретации производной
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
Правила дифференцирования
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
Производные основных элементарных функций
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
Дифференцирование сложной функции
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
Понятие дифференциала функции
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
Геометрический смысл дифференциала
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
Приближенные вычисления с помощью дифференциала
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
Частные производные и полный дифференциал
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
Понятие неопределенного интеграла
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
Свойства неопределенных интегралов
Свойства неопределенных интегралов
Свойства неопределенных интегралов
Методы интегрирования
Методы интегрирования
Методы интегрирования
Методы интегрирования
Методы интегрирования
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
Методы интегрирования
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
Понятие определенного интеграла
Понятие определенного интеграла
Свойства определенного интеграла
Свойства определенного интеграла
Свойства определенного интеграла
Формула Ньютона-Лейбница
Дифференциальные уравнения
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
Дифференциальные уравнения первого порядка
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
Теорема Коши (теорема существования и единственности решения)
Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)
1/75
Средняя оценка: 4.4/5 (всего оценок: 18)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (994 Кб)
1

Первый слайд презентации: ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)

Тема: Основы математического анализа

Изображение слайда
2

Слайд 2: План лекции:

Дифференциальное исчисление Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения

Изображение слайда
3

Слайд 3: Понятие производной функции

Рассмотрим функцию x – xo = Δ x, Δ y = f ( xo + Δ x ) – f (х o ).

Изображение слайда
4

Слайд 4

Если существует, то этот предел называется производной от функции по переменной x в точке x 0 у ' x =

Изображение слайда
5

Слайд 5: Геометрическая и механическая интерпретации производной

Если x = f ( t ) есть уравнение прямолинейного движения точки, то производная представляет собой скорость точки в момент времени t. Производная f '(х) функции геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x.

Изображение слайда
6

Слайд 6

(а и б – конечные производные в точке М 0 ; в – бесконечная производная в точке М 0 )

Изображение слайда
7

Слайд 7: Правила дифференцирования

Производная от постоянной величины равна нулю, т. е. если у = C, то y ' = 0: C ' = 0. 2. Производная алгебраической суммы конечного числа функций равна сумме производных слагаемых: (u + v + w +...)' = u' + v' + w' +...

Изображение слайда
8

Слайд 8

3.Производная произведения двух функций определяется формулой: ( u ∙ v )' = u ' ∙ v + u ∙ v ' 4. Производная частного от деления двух функций определяется формулой:

Изображение слайда
9

Слайд 9: Производные основных элементарных функций

Изображение слайда
10

Слайд 10

Изображение слайда
11

Слайд 11

Изображение слайда
12

Слайд 12: Дифференцирование сложной функции

Производная сложной функцииопределяется по формуле: y ' x = y ' u ∙ u ' x Пример. Найти производную функции Используя правило дифференцирования сложной функции, получим:

Изображение слайда
13

Слайд 13

пусть, тогда y = ln u

Изображение слайда
14

Слайд 14: Понятие дифференциала функции

На основании определения предела Δу/Δх = у' + α (Δх), отсюда Δу = у' ∙ Δх + Δх ∙ α (Δх). Первое слагаемое в правой части этого равенства стремится к нулю, как Δх (если у' 0), а второе слагаемое кроме Δх содержит в себе множитель α (Δх), который тоже стремится к нулю при Δх.

Изображение слайда
15

Слайд 15

Таким образом, первое слагаемое стремится к нулю медленнее второго, и поэтому его называют главной частью приращения функции Δу.

Изображение слайда
16

Слайд 16

Главная часть приращения функции Δу, равная произведению у' ∙ Δх, называется дифференциалом первого порядка от функции, соответствующим выбранным значениям х и Δх. Обозначается так: dy = у' ∙ Δх ( первая форма записи дифференциала)

Изображение слайда
17

Слайд 17: Геометрический смысл дифференциала

Изображение слайда
18

Слайд 18

Дифференциал dy равен приращению ординаты касательной к графику, соответствующему значениям x и x + Δ x. Вторая форма записи дифференциала: dy = у' ∙ dx

Изображение слайда
19

Слайд 19: Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Теорема: Если функция дифференцируема в точке x, причем f '( x ) 0, то при Δ x —> 0 приращение Δ y и дифференциал dy функции являются эквивалентными бесконечно малыми.

Изображение слайда
20

Слайд 20

Следовательно, Δ y ≈ dy. Абсолютная и относительная погрешности этого равенства могут быть сделаны сколь угодно малыми при достаточно малом. ‌‌‌‌‌Структура дифференциала обычно значительно проще структуры приращения функции, в силу чего формула широко применяется в приближенных вычислениях.

Изображение слайда
21

Слайд 21: Частные производные и полный дифференциал

Пусть ( x, у) — произвольная фиксированная точка из области определения z = f ( x, у). Рассмотрим предел Этот предел (если он существует) называется частной производной (1-го порядка) данной функции z по переменной x в точке ( x, у).

Изображение слайда
22

Слайд 22

Аналогично, Таким образом, частная производная функции z = f ( x, у) по аргументу x есть производная этой функции по x при постоянном значении у. Аналогично, есть производная функции z = f ( x, у) по у в предположении, что x является константой.

Изображение слайда
23

Слайд 23

Полный дифференциал функции z = f ( x, у) вычисляется по формуле

Изображение слайда
24

Слайд 24: Понятие неопределенного интеграла

Дифференцируемая функция F (х) называется первообразной для функции f ( x ) на ( a, b ), если F '(х) = f ( x ) на (а, b ). Например, для f(x) = cos x первообразной будет F(x) = sin x, так как F '(х) = ( sin x) ' = cos x

Изображение слайда
25

Слайд 25

Выражение F (х) + С, где С - произвольная постоянная величина, определяющее множество первообразных для функции f ( x ), называется неопределенным интегралом и обозначается символом,т.е. = F (х) + С, где знак - знак неопределенного интеграла, f ( x ) — называется подынтегральной функцией, f ( x ) dx - подынтегральным выражением, x - переменной интегрирования.

Изображение слайда
26

Слайд 26

Графики интегральных кривых

Изображение слайда
27

Слайд 27

Таблица неопределенных интегралов

Изображение слайда
28

Слайд 28

Изображение слайда
29

Слайд 29

Изображение слайда
30

Слайд 30

Свойства неопределенных интегралов 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Изображение слайда
31

Слайд 31: Свойства неопределенных интегралов

3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной: Пример 1. Пример 2.

Изображение слайда
32

Слайд 32: Свойства неопределенных интегралов

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: Пример 3. 5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

Изображение слайда
33

Слайд 33: Свойства неопределенных интегралов

Пример 4.

Изображение слайда
34

Слайд 34: Методы интегрирования

Непосредственное интегрирование Этот метод заключается в прямом использовании табличных интегралов и свойств. Пример.

Изображение слайда
35

Слайд 35: Методы интегрирования

Метод разложения Этот метод заключается в разложении подынтегральной функции в линейную комбинацию более простых функций с использованием известных формул. Пример.

Изображение слайда
36

Слайд 36: Методы интегрирования

Метод подведения под знак дифференциала Для приведения данного интеграла к табличному бывает удобно сделать преобразования дифференциала. Пример.

Изображение слайда
37

Слайд 37: Методы интегрирования

Метод замены переменной Существуют две формулы замены переменной в неопреде­ленном интеграле: , где x = φ ( t ) 2., где φ ( x ) = t

Изображение слайда
38

Слайд 38: Методы интегрирования

Пример. Здесь следует ввести новую переменную t так, чтобы избавиться от квадратного корня. Положим,тогда, а dx = 2t dt

Изображение слайда
39

Слайд 39

Методы интегрирования Метод интегрирования по частям Дифференциал произведения двух функций определяется формулой

Изображение слайда
40

Слайд 40: Методы интегрирования

Интегрируя это равенство, получим выражение: Отсюда.

Изображение слайда
41

Слайд 41

Методы интегрирования Пример

Изображение слайда
42

Слайд 42

Понятие определенного интеграла Вычисление площади криволинейной трапеции Криволинейной трапецией будем называть плоскую фигуру, ограниченную осью ОХ, графиком непрерывной функции у = f ( x ) и двумя вертикальными прямыми х = а и х = b

Изображение слайда
43

Слайд 43

Понятие определенного интеграла

Изображение слайда
44

Слайд 44: Понятие определенного интеграла

Учитывая, что площадь фигуры, составленной из нескольких непересекающихся фигур, равна сумме площадей этих фигур, получим Предел этой суммы называется определенным интегралом от функции f ( x ) в пределах от a до b и обозначается

Изображение слайда
45

Слайд 45: Понятие определенного интеграла

Определенным интегралом называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала Δх.

Изображение слайда
46

Слайд 46: Свойства определенного интеграла

Интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых: Постоянный множитель подынтегральной функции можно выносить за символ интеграла:

Изображение слайда
47

Слайд 47: Свойства определенного интеграла

3.Если верхний и нижний пределы интеграла поменять местами, то интеграл изменит знак:

Изображение слайда
48

Слайд 48: Свойства определенного интеграла

4.Если интервал интегрирования [а, b ] разбить на две части [а, с] и [с, b ], то 5. Если подынтегральная функция в интервале интегрирования не меняет знака, то интеграл представляет собой число того же знака, что и функция

Изображение слайда
49

Слайд 49: Формула Ньютона-Лейбница

Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нижнем пределах интеграла: , где F `( x ) = f ( x ) Разность значений функции часто записывают так:

Изображение слайда
50

Слайд 50: Дифференциальные уравнения

Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные различных порядков, называется дифференциальным. Если функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения: или

Изображение слайда
51

Слайд 51

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него. Пример. ху' – у = 0, у' + sin х = 0 - уравнения первого порядка, у" + 2у' + 5у = х - уравнение второго порядка.

Изображение слайда
52

Слайд 52

Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает уравнение в тождество после подстановки этой функции и ее производных в уравнение. При решении дифференциальных уравнений используется операция интегрирования, что связано с появлением произвольной постоянной

Изображение слайда
53

Слайд 53: Дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка определяется выражением Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка является множество решений у = f ( x, С), где С - произвольная постоянная.

Изображение слайда
54

Слайд 54

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Придавая произвольной постоянной С различные значения, можно получить частные решения. На плоскости ХОУ общее решение представляет собой семейство интегральных кривых, соответствующих каждому частному решению.

Изображение слайда
55

Слайд 55

Если задать точку A ( x 0,у 0 ), через которую должна проходить интегральная кривая, то, как правило, из множества функций у = φ(х, С) можно выделить одну - частное решение. Частным решением дифференциального уравнения называется его решение, не содержащее произвольных постоянных.

Изображение слайда
56

Слайд 56

Если функция у = φ (х, С) является общим решением, то из условия y 0 = φ (х 0, С) можно найти постоянную С. Условие у = у 0 при x = x 0 называют начальным условием. Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию у = у 0 при x = x 0 называется задачей Коши.

Изображение слайда
57

Слайд 57: Теорема Коши (теорема существования и единственности решения)

Пусть в дифференциальном уравнении у' = f ( x, у) функция f ( x,у) и ее частная производная f y '(х,у) определены и непрерывны в некоторой области D, содержащей точку A ( x 0, y 0 ). Тогда в области О существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию у = у 0 при x = x 0.

Изображение слайда
58

Слайд 58: Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде y ' = f 1 ( x ) ∙ f 2 ( y ) Правая часть уравнения представляет собой произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной.

Изображение слайда
59

Слайд 59

Пример. Уравнение у' = является уравнением с разделяющимися переменными ( f 1 ( x ) =, f 2 ( y ) = y ), а уравнение не является таким

Изображение слайда
60

Слайд 60

Учитывая, что, перепишем y ' = f 1 ( x ) ∙ f 2 ( y ) в виде. Из этого уравнения получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, в котором при дифференциалах стоят функции, зависящие от соответствующей переменной:

Изображение слайда
61

Слайд 61

Интегрируя почленно, имеем: где С = С 2 – С 1 – произвольная постоянная. Выражение представляет собой общий интеграл уравнения

Изображение слайда
62

Слайд 62

Пример 1. Найти решение у' =, удовлетворяющее условию: у = 6 при х = 2 (у(2) = 6). Заменим у' на, тогда Умножим обе части на dx, так как при дальнейшем интегрировании нельзя оставлять dx в знаменателе:

Изображение слайда
63

Слайд 63

Разделив обе части на у ( ), получим уравнение Интегрируем: Потенцируя, получим у = С(х + 1) - общее решение.

Изображение слайда
64

Слайд 64

По начальным данным определяем произвольную постоянную, подставив их в общее решение 6 = С(2 + 1) => С = 2. Окончательно получаем у = 2(х + 1) — частное решение.

Изображение слайда
65

Слайд 65

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется однородным, если его можно представить в виде у' = f ( y / x ). Введем новую функцию u = y / x или y = u ∙ x. Отсюда у' = u 'х + u или dy = u dx + x du. Свели к диф. уравнению с разделяющимися переменными

Изображение слайда
66

Слайд 66: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно представить в виде y ' + p ( x ) y = q ( x ) Здесь у, у' — входят в 1-й степени, р(х), q (х) — неизвестные функции, в частности, они могут быть постоянными величинами.

Изображение слайда
67

Слайд 67

Уравнение решается методом Бернулли с помощью специального приема. Представим у в виде произведения двух функций у = u ( x ) υ( x ), где u, υ — неизвестные функции, причем одну из них можно выбрать произвольно. Если у = u υ, то у' = u ' υ + u υ' и, подставляя в ур-ие, получим u ' υ + u υ ' + р(х) u υ = q ( x ), u ' υ + u (υ' + р(х) υ) = q (х).

Изображение слайда
68

Слайд 68

Функции u, υ нам неизвестны, определим одну из них, например υ, из условия υ' + р(х) υ = 0 (1) Учитывая это, придем к уравнению u ' υ = q (х) (2) Найдем υ( x ) из (1): υ ' = - p ( x ) υ,

Изображение слайда
69

Слайд 69

Подставим найденное решение в (2): Общее решение:

Изображение слайда
70

Слайд 70

Некоторые приложения дифференциальных уравнений первого порядка 1. Задача о радиоактивном распаде Скорость распада R а (радия) в каждый момент времени пропорциональна его наличной массе. Найти закон радиоактивного распада R а, если известно, что в начальный момент имелось m 0 R а и период полураспада R а равен 1590 лет.

Изображение слайда
71

Слайд 71

Пусть в момент t масса R а составляет x г. Тогда скорость распада R а равна По условию задачи где k – коэффициент пропорциональности

Изображение слайда
72

Слайд 72

Разделяя в последнем уравнении переменные и интегрируя, получим ln x = - kt + lnC, откуда Для определения С используем начальное условие: при t = 0 x = m 0. Тогда С = m 0 и, значит, Коэффициент пропорциональности k определяем из дополнительного условия: при t = 1590 x = m 0 /2.

Изображение слайда
73

Слайд 73

Имеем m 0 /2 = или. Отсюда и искомая формула

Изображение слайда
74

Слайд 74

2. Задача о скорости размножения бактерий Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. В начальный момент имелось 100 бактерий. В течение 3 часов их число удвоилось. Найти зависимость количества бактерий от времени. Во сколько раз увеличится количество бактерий в течение 9 часов?

Изображение слайда
75

Последний слайд презентации: ЛЕКЦИЯ № 1 (ВМ)

Пусть x - количество бактерий в момент t. Тогда согласно условию , где k — коэффициент пропорциональности. Отсюда Из условия известно, что х(при t =0) = 100. Значит, С = 100,

Изображение слайда