Презентация на тему: Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних

Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 2 Тема. Повний диференціал. Похідна за напрямом. Градієнт.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
3. Похідна за напрямом. Градієнт.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
4. Частинні похідні вищих порядків.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних.
1/29
Средняя оценка: 4.3/5 (всего оценок: 97)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (426 Кб)
1

Первый слайд презентации: Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних

1. Функції кількох змінних. Основні поняття. Означення 1. Якщо змінна величина u залежить від n незалежних змінних х1, х2,…,хn, то її називають функцією кількох змінних і позначають або х1, х2…, х n – незалежні змінні, або аргументи є рівноправними. Означення 2. Сукупність усіх числових значень, які можуть приймати аргументи х1, х2,…,х n, і при яких функція приймає певні дійсні значення, називають областю визначення функції.

Изображение слайда
2

Слайд 2

Областю визначення функції багатьох змінних є деяка область простору E n. Якщо функція визначена в деякій області та на її межі, то говорять, що функція визначена в замкненій області. Приклад 1. Знайти область визначення функції Розв’язання. Функція приймає дійсні значення при , тобто. – рівняння сфери з центром у початку координат і радіусом R = 11. Отже, областю визначення функції є куля з центром у початку координат, радіусом R = 11. Тобто,

Изображение слайда
3

Слайд 3

Означення 3. Точки, в яких функція кількох змінних не визначена, називають розривами цієї функції. Приклад 2. Знайти розриви функції. Розв’язання. Функція має розриви при, тобто, а це рівняння параболоїда обертання навколо осі Oz. Означення 4. Околом радіуса r точки називають сукупність усіх точок простору E n, відстань від яких до точки М 0 менша або дорівнює r, тобто

Изображение слайда
4

Слайд 4

Означення 5. Число А називають границею функції в точці, якщо для будь-якого малого знайдеться число r таке, що для всіх точок з околу радіуса r точки M 0 виконується нерівність Позначають так: Границі функції кількох змінних мають багато таких властивостей, як і границі функції однієї змінної, але в той же час між ними існує принципова відмінність.

Изображение слайда
5

Слайд 5

Ми пам’ятаємо, що границя функції однієї змінної існує тоді і тільки тоді, коли існують обидві односторонні границі функції в точці і вони рівні між собою. Коли ми говоримо про функцію двох змінних, то рівність виконується тоді і тільки тоді, коли значення границі не змінюється при наближені до точки по довільній траєкторії (зліва, справа, зверху, знизу, по довільній прямій, по довільній кривій). Це значно обмежує існування границі функції двох (кількох) змінних в точці.

Изображение слайда
6

Слайд 6

Означення 6. Функція неперервна в кожній точці деякої області, називається неперервною в цій області. Якщо функція неперервна в області D та на її межі, то говорять, що вона неперервна в замкненій області. Область визначення та область неперервності функцій кількох змінних співпадають. Приклад 4. Знайти область неперервності функції Розв’язання. Функція визначена коли вираз під знаком кореня додатний, тобто – це рівняння сфери з центром у точці М 1 (-3; 0;-1) і радіусом 3. Нерівність задовольняють лише внутрішні точки сфери.

Изображение слайда
7

Слайд 7

Отже, область неперервності – це множина точок , що лежать в середині сфери з центром у точці М 1 (-3; 0;-1) і радіусом 3. 2. Функції двох змінних. Область визначення. Лінії рівня. У економічних розрахунках часто використовуються функції, що залежать не від однієї змінної, а від двох і більше змінних. Означення 8. Змінна z називається функцією незалежних змінних х та у, якщо кожній парі (х;у) з деякої області їх зміни відповідає певне єдине значення величини z

Изображение слайда
8

Слайд 8

Означення 9. Сукупність всіх впорядкованих наборів чисел виду при яких функція приймає певні дійсні значення називають областю визначення функції. Означення 10. Криві лінії, що лежать у площині ХОУ і мають рівняння називаються лініями рівня функції. Лінія рівня – це множина усіх точок площини, для яких функція приймає одне значення. Приклад 6. Знайти лінії рівня функції а), б).

Изображение слайда
9

Слайд 9

Розв’язання. а) Лінії рівня функції описуються рівнянням . Це коло з центром у точці (2; -3) і радіусом. б) Для функції Кобба – Дугласа лінії рівня мають рівняння, вони вказують вартість основного капіталу та затрат праці, які забезпечують одну і ту ж вартість виробленої продукції. К 0 L

Изображение слайда
10

Слайд 10

Означення 11. Число А називають границею функції при,, якщо для будь-якого знайдеться число r, що для всіх точок (x; y) з r околу точки (x 0 ; y 0 ) виконується нерівність. Записують:. Для функції двох змінних справедливі теореми про границю суми, добутку і частки, встановлені для функції однієї змінної. Означення 12. Функція називається неперервною в точці (x 0 ; y 0 ), якщо вона визначена в області, що містить цю точку та незалежна від способу прямування до цієї точки.

Изображение слайда
11

Слайд 11

Функція неперервна в деякій області, якщо вона неперервна в кожній точці цієї області. Якщо функція неперервна в деякій області та на її межі, то вона неперервна в замкненій області. Області визначення та область неперервності функції двох змінних співпадають.

Изображение слайда
12

Слайд 12

3. Частинний приріст та частинні похідні. Нехай функція двох змінних. Надамо змінній х приросту, а змінна у залишається незмінною. Означення 13. Функція z одержить приріст , який називають частинним приростом по змінній х. Функція z одержить приріст, який називають частинним приростом по змінній у.

Изображение слайда
13

Слайд 13

Означення 14. Якщо існує, то її називають частинною похідною функції по змінній х і позначають або,, тобто Аналогічно – частинна похідна по змінній у. За означенням кожна частинна похідна є похідною функції однієї змінної. Тому при обчисленні частинних похідних можна користуватись відомими правилами і формулами диференціювання функції однієї змінної.

Изображение слайда
14

Слайд 14

Приклад 6. Знайти частинні похідні функції Розв’язання. (змінну у вважаємо сталою ), (змінну х вважаємо сталою). Частинні диференціали визначаються як головні частини частинних приростів функції, Означення 15. Розглянемо функцію. Надамо змінній x k, приросту а всі інші незалежні змінні зафіксуємо, то функція одержить приріст , який називають частинним приростом функції по змінній x k.

Изображение слайда
15

Слайд 15

Означення 16. Якщо існує границя, що не залежить від способу прямування, то її називають частинною похідною першого порядку функції по змінній x k і позначають або або. Отже,. При знаходженні частинної похідної по змінній x k усі інші змінні слід вважати сталими величинами і тому можна використовувати правила диференціювання та таблицю похідних функції однієї змінної.

Изображение слайда
16

Слайд 16

4. Приклади обчислення частинних похідних. а) б) в)

Изображение слайда
17

Слайд 17: Лекція 2 Тема. Повний диференціал. Похідна за напрямом. Градієнт

1. Повний приріст та повний диференціал функції двох змінних. Означення 1. Нехай маємо функцію двох змінних. Якщо х та у дістають одночасно приріст та, то різницю називають повним приростом функції і позначають .

Изображение слайда
18

Слайд 18

якщо функція має границю, то її можна подати як суму границі та нескінченно малої величини . Означення 2. Головна, лінійна відносно та частина повного приросту функції називається повним диференціалом. Прирости та незалежних змінних х та у називаються диференціалами незалежних змінних і позначаються та, тому. Отже,де та нескінченно малі величини при і, тому.

Изображение слайда
19

Слайд 19

Означення 3. Головна, лінійна відносно приростів частина повного приросту функції називається повним диференціалом функції і позначається. Повний диференціал знаходять за формулою Приклад 1. Знайти повний диференціал функції . .

Изображение слайда
20

Слайд 20

Розв’язання. Знайдемо частинні похідні функції: , . Отже,. Використання диференціала для наближених обчислень базується на формулі:

Изображение слайда
21

Слайд 21

Приклад 2. Обчислити за допомогою диференціала. Розв’язання. Запишемо функцію, тоді ; ; ;. Обчислимо значення функції Знайдемо частинні похідні та їх значення в точці (х 0 ; у 0 ). Тобто в точці (12;5)

Изображение слайда
22

Слайд 22: 3. Похідна за напрямом. Градієнт

Нехай задана функція і вектор що утворює з віссю ОХ кут. Означення 4. Похідна функції z у напрямі вектора знаходиться за формулою де.

Изображение слайда
23

Слайд 23

Означення 5. Похідна функції за напрямом вектора знаходиться за формулою, де – напрямні косинуси вектора (косинуси кутів, що утворює вектор з додатнім напрямом осі Ох). Приклад 3. Знайти похідну функції у напрямі вектора (1; 2; -2) в точці М(2; 3; 6).

Изображение слайда
24

Слайд 24

Розв’язання. ,,

Изображение слайда
25

Слайд 25

Означення 6. Вектор, який вказує напрям найшвидшого зростання функції називають градієнтом. Модуль градієнта визначає швидкість зростання функції. Для функції градієнт знаходять за формулою, а його модуль

Изображение слайда
26

Слайд 26: 4. Частинні похідні вищих порядків

Означення 7. Частинну похідну першого порядку по змінній x m від частинної похідної першого порядку по змінній x k, називають частинною похідною другого порядку функції по змінній x k та x m і позначають або при, або при. Частинні похідні функції та є функціями тих же змінних, тому вони теж мають похідні по цих змінних.

Изображение слайда
27

Слайд 27

Приклад 5. Знайти всі частинні похідні другого порядку функції. Розв’язання. Знайдемо спочатку частинні похідні першого порядку, , а потім – частинні похідні другого порядку:

Изображение слайда
28

Слайд 28

Для функції двох змінних

Изображение слайда
29

Последний слайд презентации: Лекція 1 Тема. Основні поняття функції кількох змінних

Означення 8. та називають мішаними частинними похідними. Теорема 1. Якщо функція та похідні , неперервні в точці (x; y) та в деякому її околі, то в цій точці

Изображение слайда