Презентация на тему: Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m

Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m
1/28
Средняя оценка: 4.9/5 (всего оценок: 75)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (350 Кб)
1

Первый слайд презентации

Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m лінійних рівнянь з n невідомими. Теорема Кронекера- Капеллі. Метод Гаусса. 2. Розв ’ язування систем n лінійних рівнянь з n невідомими. Формули Крамера. План 3. Розв ’ язування систем n лінійних рівнянь з n невідомими за допомогою оберненої матриці.

Изображение слайда
2

Слайд 2

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь Систему алгебраїчних рівнянь називають лінійною, якщо вона може бути записана у вигляді де x 1, x 2, …, x n, - невідомі; a ij - коефіцієнти системи; b k - вільні члени.

Изображение слайда
3

Слайд 3

- розширена матриця С.Л.А.Р.. стовпець вільних членів стовпець невідомих; - основна матриця С.Л.А.Р Системи лінійних алгебраїчних рівнянь A =

Изображение слайда
4

Слайд 4

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь Розв ’ язком системи називають множину дійсних чисел с 1, с 2, …, с n, підстановка яких у систему замість невідомих перетворює кожне рівняння у тотожність. Систему лінійних алгебраїчних рівнянь ( С. Л.А. Р.) називають сумісною, якщо вона має хоч би один розв ’ язок. Н есумісною у протилежному випадку. Визначені мають єдиний розв ’ язок Невизначені мають безліч розв ’ язків сумісні несумісні системи лінійних рівнянь не мають жодного розв ’ язку

Изображение слайда
5

Слайд 5

Переваги застосування метода Гаусса : 1) дозволяє дослідити систему на сумісність; 2) у випадку сумісності знайти іі розв ’ язки ( єдиний або нескінченну кількість); 3) дослідження на сумісність і знаходження розв ’ язків, якщо вони існують, можна робити одночасно. . При дослідженні системи на сумісність використовують елементарні перетворення матриці та поняття ранга матриці Розв ’ язування систем m лінійних рівнянь з n невідомими.

Изображение слайда
6

Слайд 6

. (Е.П.) матриці називають перетворення слідуючого вигляду: відкидання нульового рядка (стовпця); множення всіх елементів рядка (стовпця) на ненульове число ; перестановка рядків (стовпців); додавання до елементів одного рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на довільне ненульове число ; транспонування матриці. Елементарні перетворення матриці

Изображение слайда
7

Слайд 7

Мінором k- го порядку матриці називають визначник порядку k, який отримують викресленням будь-яких рядків і стовпців з матриці А. Мінор матриці Приклад 1 Обчислити всі мінори третього порядку і довільний мінор другого порядку матриці А Розв ’ язок

Изображение слайда
8

Слайд 8

Мінор матриці Приклад 1 ( продовження )

Изображение слайда
9

Слайд 9

Рангом матриці А називають найвищий порядок її ненульового мінора. Позначення: rang (A), r (A) Властивості rang (A) r (A) ≤ min(m;n) r (A) = 0, коли А=0 r (A) не змінюється при Е.П. у матриці трапецієвидного вигляду ; де Ранг матриці r (A) = r

Изображение слайда
10

Слайд 10

Приклад 2 Обчислити ранг матриці А за допомогою Е.П. Ранг матриці А = внаслідок того, що

Изображение слайда
11

Слайд 11

Ранг матриці Розв ’ язок

Изображение слайда
12

Слайд 12

Система m лінійних рівнянь з n невідомими сумісна тоді і тільки тоді, коли r (A) = r (A) Причому система сумісна визначена, якщо r (A) = r (A) = n ; сумісна невизначена, якщо r (A) = r (A) n. у випадку r n невідомі називають базисними, якщо минор, утворений з коефіцієнтів при них, не дорівнює нулю. усі інші невідомі називають вільними. Теорема Кронекера-Капеллі

Изображение слайда
13

Слайд 13

метод Гаусса Суть метода Гаусса полягає в тому, що шляхом елементарних перетворень С.Л.А.Р. приводять до еквівалентної системи трикутного або трапецієвидного вигляду, з якої послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, знаходять усі невідомі. Перетворення Гаусса зручно проводити, здійснюючи перетворення не з самими рівняннями, а з матрицею їх коефіцієнтів яка є розширеною матрицею С.Л.А.Р.

Изображение слайда
14

Слайд 14

Приклад 3 Дослідити систему рівнянь на сумісність і у випадку сумісності знайти розв ’ язки метод Гаусса Розв ’ язок ~ ~ а)

Изображение слайда
15

Слайд 15

метод Гаусса Приклад 3 (продовження ) ~ 0 = -16 Отже, початкова система несумісна. б) r (A) = 3 r (A) = 4

Изображение слайда
16

Слайд 16

метод Гаусса Приклад 3 (продовження ) Розв ’ язок ~ ~ ~ ~ ~ ~ . r (A) = r (A) = 3 Система сумісна визначена Відповідь:

Изображение слайда
17

Слайд 17

метод Гаусса Приклад 3 (продовження ) в) Розв ’ язок ~ ~

Изображение слайда
18

Слайд 18

метод Гаусса Приклад 3 (продовження ) r (A) = r (A) = 3 Система сумісна і невизначена. Вважаємо тоді Відповідь: . ~ ,

Изображение слайда
19

Слайд 19

Системи n лінійних рівнянь з n невідомими Якщо то r (A) = r (A) = n (кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих), згідно з теоремою Кронекера-Капеллі така система має єдиний розв ’ язок.

Изображение слайда
20

Слайд 20

Цей визначник отримано шляхом послідовної заміни j -го стовпця визначника ∆ стовпцем чисел b 1, b 2, …, b n. Метод Крамера. Розв’язком С.Л.А.Р. за правилом Крамера буде сукупність значень невідомих обчислених за формулами: Знаходження єдиного розв ’ язку.

Изображение слайда
21

Слайд 21

Приклад 4 Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за формулами Крамера : Розв’язок ∆ ≠ 0, можемо застосувати правило Крамера

Изображение слайда
22

Слайд 22

Приклад 4 ( продовження) За формулами Крамера : Відповідь:

Изображение слайда
23

Слайд 23

Метод оберненої матриці. то С.Л.А. Р., згідно з правилом множення матриць та умовою рівності матриць, можна записати у матричній формі A×X = B Тод і A -1 ∙ A×X = A -1 ∙ B ( A -1 ∙ A = E) X= A -1 ∙ B де A -1 - матриця обернена до A. Знаходження єдиного розв ’ язку.

Изображение слайда
24

Слайд 24

Приклад 5 Розв’язати C.Л.А.Р. методом оберненої матриці Запишемо систему рівнянь у вигляді матричного рівняння Розв’язок де Тоді

Изображение слайда
25

Слайд 25

Приклад 5 (продовження ) Визначник матриці А не дорівнює нулю, тому існує А -1 і розвязок можна знайти методом оберненої матриці. Знаходимо алгебраїчні доповнення :

Изображение слайда
26

Слайд 26

Приклад 5 (продовження) Записуємо обернену матрицю до матриці А

Изображение слайда
27

Слайд 27

Приклад 5 (продовження) Відповідь: .

Изображение слайда
28

Последний слайд презентации: Лекція № 3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. 1. Розв ’ язування систем m

Недоліки застосування формул Крамера та метода оберненої матриці. С.Л.Р. не може бути розв ’ язана за допомогою формул Крамера та методом оберненої матриці у випадках коли: 1) кількість рівнянь ≠ кількості невідомих ( m ≠ n) або 2 ) ∆ = 0.

Изображение слайда