Презентация на тему: Круги Эйлера

Круги Эйлера
Круги Эйлера
Пример кругов Эйлера. Буквами обозначены, например, свойства: B — живое существо, A — человек, C — неживая вещь.
Натуральные, целые, рациональные и действительные в виде кругов Эйлера
Круги Эйлера
Круги Эйлера
Круги Эйлера
Связь теории множеств с кругами Эйлера
Пример задач :
Решение
Задача 2
Решение :
Задача 3
Решение :
Диаграмма Венна
Диаграмма Венна, показывающая все пересечения греческого, русского и латинского алфавитов Назад
Леонард Эйлер
Круги Эйлера
Круги Эйлера
назад
Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц (нем. Gottfried Wilhelm Leibniz 21 июня (1 июля) 1646 — 14 ноября 1716) — немецкий философ, логик, математик, физик, юрист,
1/21
Средняя оценка: 4.8/5 (всего оценок: 36)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (345 Кб)
1

Первый слайд презентации: Круги Эйлера

Подготовил Гоман Артем Группа 13491 МГВРК 2012

Изображение слайда
2

Слайд 2

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

Изображение слайда
3

Слайд 3: Пример кругов Эйлера. Буквами обозначены, например, свойства: B — живое существо, A — человек, C — неживая вещь

Изображение слайда
4

Слайд 4: Натуральные, целые, рациональные и действительные в виде кругов Эйлера

Изображение слайда
5

Слайд 5

Важный частный случай кругов Эйлера — диаграммы Эйлера — Венна, изображающие все комбинаций n свойств, то есть конечную булеву алгебру. При n=3 диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

Изображение слайда
6

Слайд 6

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716). Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы.

Изображение слайда
7

Слайд 7

Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер (1841—1902) в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Поэтому такие схемы иногда называют Диаграммы Эйлера — Венна.

Изображение слайда
8

Слайд 8: Связь теории множеств с кругами Эйлера

Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Для наглядности множества на плоскости изображаются кругами или иными плоскими геометрическими фигурами, замкнутыми контрами, которые называются кругами Эйлера – Венна Связь теории множеств с кругами Эйлера

Изображение слайда
9

Слайд 9: Пример задач :

Каждый из 35 шестиклассников является читателем, по крайней мере, одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек берут книги в школьной библиотеке, 20 – в районной. Сколько шестиклассников: 1. Являются читателями обеих библиотек; 2. Не являются читателями районной библиотеки; 3. Не являются читателями школьной библиотеки; 4. Являются читателями только районной библиотеки; 5. Являются читателями только школьной библиотеки. Пример задач :

Изображение слайда
10

Слайд 10: Решение

1. 20 + 25 - 35 = 10 (человек) - являются читателями обеих библиотек. На схеме это общая часть кругов. Мы определили единственную неизвестную нам величину. Теперь, глядя на схему, легко даем ответы на поставленные вопросы. 2. 35 - 20 = 15 (человек)- не являются читателями районной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга) 3. 35 - 25 = 10 (человек) - не являются читателями школьной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга) 4. 35 - 25 = 10 (человек) - являются читателями только районной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга) 5. 35 - 20 = 15 (человек) - являются читателями только школьной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга). Решение

Изображение слайда
11

Слайд 11: Задача 2

В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 — автобусом, 23 — троллейбусом, 10 — и метро, и троллейбусом, 12 — и метро, и автобусом, 9 — и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта? Задача 2

Изображение слайда
12

Слайд 12: Решение :

Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера. Пусть х человек Р2пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом — (10 − х ) человек, только автобусом и троллейбусом — (9 − х ) человек, только метро и автобусом — (12 − х ) человек. Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:20 − (12 − х ) − (10 − х ) − х = х − 2 Аналогично получаем: х − 6 — только автобусом и х + 4 — только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение: х+ (12 − х ) + (9 − х ) + (10 − х ) + ( х + 4) + ( х − 2) + ( х − 6) = 30, отсюда х= 3. Решение :

Изображение слайда
13

Слайд 13: Задача 3

В трёх седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом? Задача 3

Изображение слайда
14

Слайд 14: Решение :

Пусть Д – драмкружок, Х – хор, С - спорт. Тогда в круге Д - 27 ребят, в круге Х - 32 человека, в круге С - 22 ученика. Те 10 ребят из драмкружка, которые поют в хоре, окажутся в общей части кругов Д и X. Трое из них ещё и спортсмены, они окажутся в общей части всех трёх кругов. Остальные семеро спортом не увлекаются. Аналогично, 8-3=5 спортсменов, не поющих в хоре и 6-3=3, не посещающих драмкружок. Легко видеть, что 5+3+3=11 спортсменов посещают хор или драмкружок, 22-(5+3+3)=11 занимаются только спортом; 70-(11+12+19+7+3+3+5)=10 - не поют в хоре, не занимаются в драмкружке, не увлекаются спортом. Решение :

Изображение слайда
15

Слайд 15: Диаграмма Венна

— схематичное изображение всех возможных пересечений нескольких (часто — трёх) множеств. Если пересечения позволяется указывать не все, получается более общий случай — круги Эйлера. Диаграммы Эйлера — Венна (как их ещё называют) изображают все комбинаций n свойств, то есть конечную булеву алгебру. При n=3 диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника. Пример получения произвольных кругов Эйлера из диаграмм Венна с пустыми (чёрными) множествами. Они появились в сочинениях английского логика Джона Венна (1843—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Диаграмма Венна

Изображение слайда
16

Слайд 16: Диаграмма Венна, показывающая все пересечения греческого, русского и латинского алфавитов Назад

Изображение слайда
17

Слайд 17: Леонард Эйлер

Изображение слайда
18

Слайд 18

Леона́рд Э́йлер (нем. Leonhard Euler ; 4 (15) апреля 1707, Базель, Швейцария — 7 (18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) — швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Эйлер — автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др. Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург, куда переехал годом позже. С 1731 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741—1766 годах работал в Берлине, оставаясь одновременно почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики (С. К. Котельников) и астрономы (С. Я. Румовский ) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России. Назад

Изображение слайда
19

Слайд 19

Эрнст Шрёдер (нем. Ernst Schröder, 25 ноября1841, Мангейм — 16 июня 1902, Карлсруэ) — немецкий математик и логик. После изучения математики и физики в Хайдельберге и Кёнигсберге последовала хабилитация в Цюрихе в 1865 году. Профессор математики Дармштадтского технического университета с 1874 года, затем с 1876 года в прежнем техническом университете в Карлсруэ. Центральное место в сфере его научных интересов занимали основания математики, теория функций и комбинаторный анализ. В работе Итерированные функции (нем. Ueber iterirte Functionen ; 1871) он исследовал функциональные уравнения, которые сегодня называют Уравнениями Шрёдера, играющие важную роль в теории динамических систем. Когда логика стала самостоятельной научной дисциплиной, он начал заниматься алгеброй и символической логикой. Его работы по алгебре логики получили международную известность. Он усовершенствовал логику Джорджа Буля и разработал в 1877 году полную систему аксиом булевой алгебры. Эрнст Шрёдер в трёхтомной Алгебре логики (нем. Algebra der Logik ; 1890 — 1895), в отличие от Буля, строит теорию логического исчисления (его авторское название современной математической логики) на основе исчисления классов. Он вносит вклад в развитие реляционной алгебры, вводит понятие нормальная форма и развивает принцип двойственности в классической логике; использует метод элиминации кванторов для вопросов разрешимости.

Изображение слайда
20

Слайд 20: назад

Изображение слайда
21

Последний слайд презентации: Круги Эйлера: Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц (нем. Gottfried Wilhelm Leibniz 21 июня (1 июля) 1646 — 14 ноября 1716) — немецкий философ, логик, математик, физик, юрист, историк, дипломат, изобретатель и языковед. Основатель и первый президент Берлинской Академии наук, иностранный член Французской Академии наук. назад

Изображение слайда