Презентация на тему: Кривые второго порядка

Кривые второго порядка
Общее уравнение алгебраической кривой второго порядка
Окружность
Эллипс
Эллипс
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка
Эллипс
Директрисы эллипса
Пример
Кривые второго порядка
Гипербола
Гипербола
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка
Гипербола
Директрисы гиперболы
Пример
Пример
Парабола
Парабола
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка
Преобразование общего уравнения к каноническому виду
Преобразование общего уравнения к каноническому виду
Преобразование общего уравнения к каноническому виду
1/27
Средняя оценка: 4.9/5 (всего оценок: 4)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (522 Кб)
1

Первый слайд презентации: Кривые второго порядка

Изображение слайда
2

Слайд 2: Общее уравнение алгебраической кривой второго порядка

К кривым второго порядка относятся: эллипс, частным случаем которого является окружность, гипербола и парабола. Общее уравнение кривой второго порядка В некоторых частных случаях это уравнение может определять также две прямые, точку или мнимое геометрическое место.

Изображение слайда
3

Слайд 3: Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от точки А( a; b ) на расстояние R. y 0 х А R М (x; y) Для любой точки М справедливо: Каноническое уравнение окружности

Изображение слайда
4

Слайд 4: Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости F 1 и F 2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. y 0 х F 1 F 2 -c c M(x; y) r 1 r 2 Зададим систему координат и начало координат выберем в середине отрезка [ F 1 F 2 ]

Изображение слайда
5

Слайд 5: Эллипс

b 2 b 2 b 2 Каноническое уравнение эллипса

Изображение слайда
6

Слайд 6

ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПСА Из уравнения эллипса получаем: Эллипс лежит внутри прямоугольника, ограниченного x =  a, y =  b. Эллипс имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy ). Центр симметрии эллипса называют центром эллипса.

Изображение слайда
7

Слайд 7

 функция возрастает при x  (– a ;   0) ( y      >   0)  , убывает при x  (0;   a ) ( y      <   0)  , экстремум (максимум) в точке x   =   0  , y (0)   =   b   ;    кривая всюду выпуклая.

Изображение слайда
8

Слайд 8: Эллипс

y 0 х F 1 F 2 -c c M(x; y) r 1 r 2 а -а большая полуось малая полуось b -b фокусное расстояние фокальные радиусы точки М эксцентриситет эллипса Для эллипса справедливы следующие неравенства: Эксцентриситет характеризует форму эллипса ( ε = 0 – окружность)

Изображение слайда
9

Слайд 9: Директрисы эллипса

Для любой точки М эллипса отношение расстояния от нее до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету, т.е. Директрисы эллипса – это прямые

Изображение слайда
10

Слайд 10: Пример

Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат в точках F 1 (-4; 0) F 2 (4; 0), а эксцентриситет равен 0,8. Каноническое уравнение эллипса: y 0 х - 5 5 - 3 3

Изображение слайда
11

Слайд 11

Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F 1 и F 2 были на оси Oy на одинаковом расстоянии от начала координат, то уравнение эллипса будет иметь вид

Изображение слайда
12

Слайд 12: Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости F 1 и F 2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. y 0 х F 1 F 2 -c c M(x; y) r 1 r 2

Изображение слайда
13

Слайд 13: Гипербола

b 2 b 2 b 2 Каноническое уравнение гиперболы После тождественных преобразований уравнение примет вид:

Изображение слайда
14

Слайд 14

ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ 1) Т очек гиперболы нет в полосе, ограниченной прямыми x =  a. 2) Гипербола имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy ). Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы. Ось симметрии гиперболы, проходящую через фокусы (ось Ox ) называют действительной (или фокальной ) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy ) – мнимой осью. 3) Из уравнения гиперболы получаем: Исследуем кривую методами, разработанными в математическом анализе:

Изображение слайда
15

Слайд 15

а) D ( y ) = (–   ;– a ]  ∪  [ a ; +  ) , y (  a ) = 0 ; б) линия имеет асимптоты Напомним: П рямая ℓ называется асимптотой кривой, если расстояние от точки M кривой до прямой ℓ стремится к нулю при удалении точки M от начала координат. Существуют два вида асимптот – вертикальные и наклонные. Вертикальные асимптоты кривая y = f ( x ) имеет в тех точках разрыва II рода функции y = f ( x ), в которых хотя бы один из односторонних пределов функции равен бесконечности. Наклонные асимптоты кривой y = f ( x ) имеют уравнение y = k 1,2 x + b 1,2, где

Изображение слайда
16

Слайд 16

в)  функция возрастает при x  ( a ; +  ) ( y      >   0)  , убывает при x  ( –   ; – a ) ( y      <   0)  , экстремум ов нет ( критические точки x   =   0  D ( y )   и x  =   a – граничные) ; г)    кривая всюду выпуклая.

Изображение слайда
17

Слайд 17: Гипербола

y 0 х F 1 F 2 -c c M(x; y) а - а -b b Для гиперболы справедливо: r 1 r 2 фокальные радиусы точки М действительная полуось мнимая полуось эксцентриситет гиперболы асимптоты гиперболы

Изображение слайда
18

Слайд 18: Директрисы гиперболы

Директрисы гиперболы – это прямые

Изображение слайда
19

Слайд 19: Пример

Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку А(6; -4), если ее асимптоты заданы уравнениями: Решим систему: Точка А лежит на гиперболе

Изображение слайда
20

Слайд 20: Пример

Каноническое уравнение гиперболы: 0 y х

Изображение слайда
21

Слайд 21: Парабола

y 0 х F M(x; y) d r Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки той же плоскости , называемой фокусом, равно расстоянию до прямой:

Изображение слайда
22

Слайд 22: Парабола

y 0 х F M(x; y) d r каноническое уравнение параболы директриса параболы фокус параболы фокальный радиус Эксцентриситет параболы:

Изображение слайда
23

Слайд 23

ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛЫ 1) П арабола лежит в полуплоскости x ≥ 0. 2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox ). Ось симметрии параболы называют осью параболы. 3) Из уравнения параболы получаем: Исследуем кривую методами, разработанными в математическом анализе: а) D ( y ) = [0; +  ) , y (0) = 0 ; б) асимптот нет (проверить самим); в)  функция всюду возрастает; г)    кривая всюду выпуклая.

Изображение слайда
24

Слайд 24

ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

Изображение слайда
25

Слайд 25: Преобразование общего уравнения к каноническому виду

Общее уравнение кривой называется пятичленным, если 2Bxy =0: Приведение пятичленного уравнения к каноническому виду рассмотрим на примере:

Изображение слайда
26

Слайд 26: Преобразование общего уравнения к каноническому виду

y 0 х - 1 1 5 5 4 4 y’ x’ Перенесем начало координат в точку (1; -1), получим новую систему координат:

Изображение слайда
27

Последний слайд презентации: Кривые второго порядка: Преобразование общего уравнения к каноническому виду

Если слагаемое 2Bxy в общем уравнении не равно нулю, то для приведения уравнения к каноническому виду необходимо повернуть оси координат на угол α. При этом зависимость между старыми координатами и новыми определяются формулами: Угол α удовлетворяет условию: В случае, если A = C, то

Изображение слайда