Презентация на тему: Комплексные числа

Комплексные числа
Какие числовые множества вам знакомы?
Комплексные числа
Комплексные числа
Мнимые числа
Комплексные числа
Арифметические операции над комплексными числами
Классификация комплексных чисел
Сопряженные комплексные числа
Свойства сопряженных чисел
Свойства сопряженных чисел
Степени мнимой единицы
Извлечение квадратных корней из комплексных чисел в алгебраической форме.
Геометрическое изображение комплексных чисел.
Тригонометрическая форма комплексного числа
Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме
Извлечение корня из комплексного числа.
Комплексные числа
1/18
Средняя оценка: 4.5/5 (всего оценок: 59)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (192 Кб)
1

Первый слайд презентации

Комплексные числа

Изображение слайда
2

Слайд 2: Какие числовые множества вам знакомы?

N Z Q R

Изображение слайда
3

Слайд 3

Числовая система Допустимые алгебраические операции Частично допустимые алгебраические операции Натуральные числа, N Целые числа, Z Рациональные числа, Q Действительные числа, R Сложение, умножение Вычитание, деление, извлечение корней Сложение, вычитание, умножение Деление, извлечение корней Сложение, вычитание, умножение, деление Извлечение корней из неотрицательных чисел Сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корней из неотрицательных чисел Извлечение корней из произвольных чисел Комплексные числа, C Все операции

Изображение слайда
4

Слайд 4

Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа: С 1 ) Существует комплексное число, квадрат которого равен -1. С 2 ) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. С 3 ) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному). Выполнение этих минимальных условий позволяет определить все множество С комплексных чисел.

Изображение слайда
5

Слайд 5: Мнимые числа

i, 2 i, -0,3 i — чисто мнимые числа Арифметические операции над чисто мнимыми числами выполняются в соответствии с условием С3. где a и b — действительные числа. В общем виде правила арифметических операций с чисто мнимыми числами таковы:

Изображение слайда
6

Слайд 6

Определение 1. Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа. Определение 2. Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части:

Изображение слайда
7

Слайд 7: Арифметические операции над комплексными числами

(а + bi ) + ( c + di ) = (а + с) + ( b + d ) i (а + bi ) - ( c + di ) = (а - с) + ( b - d ) i ( а + bi)·( с + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Изображение слайда
8

Слайд 8: Классификация комплексных чисел

Комплексные числа a + bi Действительные числа b = o Мнимые числа b ≠ o Рациональные числа Иррациональные числа Мнимые числа с ненулевой действительной частью a ≠ 0, b ≠ 0. Чисто мнимые числа a = 0, b ≠ 0.

Изображение слайда
9

Слайд 9: Сопряженные комплексные числа

Определение: Если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряженное данному. Если данное комплексное число обозначается буквой z, то сопряженное число обозначается : : . Из всех комплексных чисел действительные числа (и только они) равны своим сопряженным числам. Числа a + bi и a - bi называются взаимно сопряженными комплексными числами.

Изображение слайда
10

Слайд 10: Свойства сопряженных чисел

Сумма и произведение двух сопряженных чисел есть число действительное. Число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно сумме сопряженных данным числам. Число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно разности сопряженных данным числам. Число, сопряженное произведению двух комплексных чисел, равно произведению сопряженных данным числам.

Изображение слайда
11

Слайд 11: Свойства сопряженных чисел

Число, сопряженное п -ой степени комплексного числа z, равно п- ой степени числа, сопряженного к числу z, т.е. Число, сопряженное частному двух комплексных чисел, из которых делитель отличен от нуля, равно частному сопряженных чисел, т.е.

Изображение слайда
12

Слайд 12: Степени мнимой единицы

По определению первой степенью числа i является само число i, а второй степенью – число -1: . Более высокие степени числа i находятся следующим образом: i 4 = i 3 ∙ i = -∙ i 2 = 1; i 5 = i 4 ∙ i = i ; i 6 = i 5 ∙ i = i 2 = - 1 и т.д. i 1 = i, i 2 = -1 Очевидно, что при любом натуральном n i 4n = 1; i 4n+1 = i ; i 4n +2 = - 1 i 4n+3 = - i.

Изображение слайда
13

Слайд 13: Извлечение квадратных корней из комплексных чисел в алгебраической форме

Определение. Число w называют квадратным корнем из комплексного числа z, если его квадрат равен z : Теорема. Пусть z=a+bi – отличное от нуля комплексное число. Тогда существуют два взаимно противоположных комплексных числа, квадраты которых равны z. Если b ≠0, то э ти два числа выражаются формулой:

Изображение слайда
14

Слайд 14: Геометрическое изображение комплексных чисел

Комплексному числу z на координатной плоскости соответствует точка М( a, b). Часто вместо точек на плоскости берут их радиусы-векторы Определение: Модулем комплексного числа z = a + bi называют неотрицательное число, равное расстоянию от точки М до начала координат b a М (a, b) y x O φ

Изображение слайда
15

Слайд 15: Тригонометрическая форма комплексного числа

где φ – аргумент комплексного числа, r = - модуль комплексного числа,

Изображение слайда
16

Слайд 16: Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

Теорема 1. Если и то: б) а) Теорема 2 (формула Муавра). Пусть z — любое отличное от нуля комплексное число, п — любое целое число. Тогда

Изображение слайда
17

Слайд 17: Извлечение корня из комплексного числа

Теорема. Для любого натурального числа n и отличного от нуля комплексного числа z существуют n различных значений корня n -степени. Если

Изображение слайда
18

Последний слайд презентации: Комплексные числа

После изучения темы «Комплексные числа учащиеся должны: Знать: алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа. Уметь : производить над комплексными числами операции сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексного числа; переводить комплексные числа из алгебраической формы в геометрическую и тригонометрическую; пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел; в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами.

Изображение слайда