Презентация на тему: Комплексные числа

Комплексные числа
Из истории комплексных чисел
Из истории комплексных чисел
Из истории комплексных чисел
Содержание
Множества чисел
Алгебраические операции
Понятие Комплексного числа
Понятие комплексного числа
Действия над комплексными числами
Сопряженные числа
Примеры
Примеры
Примеры
Комплексные числа на координатной плоскости
1/15
Средняя оценка: 4.5/5 (всего оценок: 65)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (2307 Кб)
1

Первый слайд презентации: Комплексные числа

Изображение слайда
2

Слайд 2: Из истории комплексных чисел

Комплексные числа были введен в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основание для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречается квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается корень из отрицательного числа. Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счел их непригодными к употреблению. Из истории комплексных чисел Кардано Джероламо

Изображение слайда
3

Слайд 3: Из истории комплексных чисел

Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами. Выражения вида, появляющимся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называться «мнимыми» в XVI-XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялось неясной. Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием». Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Задача о выражении корней степени n из данного числа была в основном решена в работах Муавра (1707) и Котся (1722). Символ (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius. Леонард Эйлер

Изображение слайда
4

Слайд 4: Из истории комплексных чисел

Он же высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Даламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввел в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 г, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году. Полные гражданские права мнимым числам дар Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень. Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось в работе Весселя (англ.), (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Карл Гаусс

Изображение слайда
5

Слайд 5: Содержание

Множества чисел Алгебраические операции Понятие комплексного числа Действия над комплексными числами Понятие сопряженного числа Примеры

Изображение слайда
6

Слайд 6: Множества чисел

C R Q Z N

Изображение слайда
7

Слайд 7: Алгебраические операции

N Z C R Q Комплексные числа : Действительные числа:, любые длины Рациональные числа: Целые числа: Натуральные числа:

Изображение слайда
8

Слайд 8: Понятие Комплексного числа

Комплексные числа C – это пара ( a; b ) действительных чисел с заданными определенным образом операциями умножения и сложения. Комплексное число z=(a; b) записывают как z= a+bi. i - мнимая единица. Число Re z называется действительной частью числа z, а число Im z – мнимой частью числа z. Их обозначают a и b соответственно : a=Re z, b= Im z Определение: Числа вида a+bi, где a и b – действительные числа, i - мнимая единица, называются комплексными.

Изображение слайда
9

Слайд 9: Понятие комплексного числа

Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа: Существует комплексное число, квадрат которого равен (-1) ; Множество комплексных чисел содержит все действительные числа; Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному). i – начальная буква французского слова imaginaire – « мнимый »

Изображение слайда
10

Слайд 10: Действия над комплексными числами

Сравнение означает, что и (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части) Сложение Вычитание Умножение Деление

Изображение слайда
11

Слайд 11: Сопряженные числа

Числа и называются сопряженными Свойство 1: Если, то. Свойство 2:. Свойство 3:. Свойство 4:. Свойство 5:. Свойство 6:.

Изображение слайда
12

Слайд 12: Примеры

( a+bi )+( c+di )=( a+c )+( b+d ) i Например: (2+3i)+(5+i)=(2+5)+(3+1) i =7+4i ; (-2+3i)+(1-8i)=(-2+1)+(3+(-8)) i =-1-5i; (-2+3i)+(1-3i)=(-2+1)+(3+(-3)) i =-1+0i=-1. ( a+bi )-( c+di )=(a-c)+(b-d) i Например: (5-8i)-(2+3i)=(3-2)+(-8-3) i =1-11i; (3-2i)-(1-2i)=(3-1)+((-2)-(-2)) i =2+0i=2.

Изображение слайда
13

Слайд 13: Примеры

( a+bi )( c+di )=( ac+bd )+( ad+bc ) i Например: (-1+3i)(2+5i)=-2-5i+6i+15i 2 =-2+1i-15=-17+i; (2+3i)(2-3i)=4-6i+6i-9i 2 =4+9=13. Произведение двух сопряженных чисел – действительное число: ( a+bi )(a-bi)=a 2 -abi+abi-b 2 i 2 =a 2 +b 2 Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число: bi∙di =bdi 2 =- bd Например: 5i∙3i=15i 2 =-15 -2i∙3i=-6i 2 =6

Изображение слайда
14

Слайд 14: Примеры

Деление комплексного числа a+bi на комплексное число c+di≠0 определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле: Формула теряет смысл, если c+di =0, так как тогда c 2 +d 2 =0, т.е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается. Обычно деление комплексных чисел выполняется путем умножения делимого и делителя на число. Сопряженное делителю. Например:

Изображение слайда
15

Последний слайд презентации: Комплексные числа: Комплексные числа на координатной плоскости

Im z z= a+bi Re z 0 |z| b a

Изображение слайда