Презентация на тему: Колебательное движение. Лекция 03 24 февраля 2021 Вынужденные колебания

Колебательное движение. Лекция 03 24 февраля 2021 Вынужденные колебания
Колебательное движение. Лекция 03 24 февраля 2021 Вынужденные колебания
Гармонические колебания
Затухающие колебания
Колебательное движение. Лекция 03 24 февраля 2021 Вынужденные колебания
Колебательное движение. Лекция 03 24 февраля 2021 Вынужденные колебания
Вынужденные колебания
Вынужденные колебания
Вынужденные колебания
Вынужденные колебания
Колебательное движение. Лекция 03 24 февраля 2021 Вынужденные колебания
Резонанс
Резонанс
Резонанс
Резонанс
Резонанс. Нарастание энергии колебаний
Резонанс разрушает мост в Оклахоме
Резонанс в электрических колебаниях
Колебательное движение. Лекция 03 24 февраля 2021 Вынужденные колебания
1/19
Средняя оценка: 4.1/5 (всего оценок: 42)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (1305 Кб)
1

Первый слайд презентации

Колебательное движение. Лекция 03 24 февраля 2021 Вынужденные колебания. Резоннанс. Лектор: доцент НИЯУ МИФИ, Андрей Станиславович ОЛЬЧАК General Physics NRNU MEPhI

Изображение слайда
2

Слайд 2

Уравнение гармонических колебаний Уравнение гармонических колебаний x’’(t ) + ω 0 2 x(t) = 0 выводится из второго закона Ньютона для ЛЮБОЙ системы, движущейся под действием квазиупругой силы F = -kx(t), где коэффициент пропорциональности k зависит от природы системы, ω 0 2 = k/m Уравнение гармонических колебаний x’’(t ) + ω 0 2 x(t) = 0 возникает ВСЕГДА, когда материальная точка движется в поле с потенциальной энергией, параболически зависящей от отклонения от положения равновесия: U = kx 2 /2. Коэффициент k зависит от природы потенциального поля сил. ω 0 2 = k/m

Изображение слайда
3

Слайд 3: Гармонические колебания

Уравнение гармонических колебаний: x’’(t ) + ω 0 2 x(t) = 0 Общее решение этого уравнения: x(t) = Acos( ω 0 t + φ 0 ), А - амплитуда колебаний и φ 0 - начальная фаза колебаний (определяются из начальных условий задачи). 3 T = mV 2 /2 = mA 2 ω 0 2 sin 2 ( ω 0 t + φ 0 )/2 U = kx 2 /2 = kA 2 cos 2 ( ω 0 t + φ 0 )/2 E = mA 2 ω 0 2 /2 =mV max 2 /2 = kA 2 /2 = Const Энергия гармонических колебаний:

Изображение слайда
4

Слайд 4: Затухающие колебания

Если учесть еще сопротивления среды (трение), F = -rx’(t) : mx’’(t ) + ω 0 2 x(t) = - (r/m)x’(t ) Или x’’(t ) + 2 β x’(t ) + ω 0 2 x(t) = 0 где ω 0 2 = k/m ; β = r/2m = 2 β. Решение уравнения мы искали с помощью подстановки: x(t)=А exp(-аt+i ω t + i φ 0 ) и нашли: x(t)=А Re[ exp(- β t+i ω t + i φ 0 )] = Аexp(- β t)cos( ω t+φ 0 ) Причем ω = ( ω 0 2 - β 2 ) 1/2 - круговая частота затухающих колебаний. При ω 0 < β колебаний не будет совсем. 4

Изображение слайда
5

Слайд 5

Решение = А(t)(cos( ω t +φ 0 )) соответствует гармоническим колебаниям с круговой частотой ω = ( ω 0 2 - β 2 ) 1/2 и с экспоненциально затухающей амплитудой А( t)= А exp(- β t). Также экспоненциально убывает энергия затухающих колебаний: E(t) =kA 2 ( t)/2 =k А 2 exp(- 2 β t) /2 =E 0 (t=0) exp(- 2 β t) . 5 Затухающие колебания Важные характеристики затухающих колебаний: - “ Период ” (period) колебаний T = 2 π / ω = 2 π / ( ω 0 2 - β 2 ) 1/2 - Декремент ( decrement ) затухания exp( β T ) = A(t)/A(t+T) Логарифмический декремент затухания λ = β T. Добротность (Q-factor) Q = π / λ = ω /2 β = ( ω 0 2 - β 2 ) 1/2 /2 β

Изображение слайда
6

Слайд 6

6 Свободные затухающие колебания. Затухающие колебания

Изображение слайда
7

Слайд 7: Вынужденные колебания

Рассмотрим систему, где действуют квази-упругая сила - kx(t), \ трение - rx’(t), но есть еще и третья, вынуждающая периодическая сила: mx’’(t) = - kx(t) - rx’(t) + F в (t) Если вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону : x’’(t)+ 2 β x’(t) + ω 0 2 x(t) = (F в /m)cos( ω в t) 7 Попробуем найти решение этого уравнения в виде: x(t) = А cos( ω в t - α ) Подставляя предполагаемую функцию – решение в уравнение, находим: A ( ω 0 2 -ω в 2 )cos( ω в t - α ) – 2A β ω в sin( ω в t - α )= =(F в /m)cos( ω в t)

Изображение слайда
8

Слайд 8: Вынужденные колебания

в виде: AZ[X cos( ω в t - α ) - Ysin( ω в t - α )]=(F в /m)cos( ω в t) Важно, что X 2 + Y 2 = 1, то есть - можно выразить их через гармон ические функции о д ного аргумента : X = cos( φ ) ;Y = sin( φ ), где φ = arccos ( X ) = arcsin ( Y ) где: X = ( ω 0 2 -ω в 2 )/Z; Y = 2 β ω в /Z Z 2 = ( ω 0 2 -ω в 2 ) 2 + 4 β 2 ω в 2 8 Перепишем полученное трансцедентное уравнение A ( ω 0 2 -ω в 2 )cos( ω в t - α ) – 2A β ω в sin( ω в t - α )= =(F в /m)cos( ω в t)

Изображение слайда
9

Слайд 9: Вынужденные колебания

Итак, имеем: AZ(X cos( ω в t - α )-Ysin( ω в t - α ))=(F в /m)cos( ω в t) Или φ = arccos(X) = arcsin(Y) где: Z = ( ( ω 0 2 -ω в 2 ) + 4 β 2 ω в 2 ) 1/2 X= ( ω 0 2 -ω в 2 )/Z = cos( φ ) ; Y = 2 β ω в /Z = sin( φ ), Перепишем еще раз: AZ( cos( φ ) cos( ω в t- α )- sin( φ ) sin( ω в t - α ))=(F в /m)cos( ω в t) Если φ = α, AZ = (F в /m) - уравнение удовлетворено (!) и р ешение найдено : x (t)= ( F в /mZ)cos( ω в t - α ) 9

Изображение слайда
10

Слайд 10: Вынужденные колебания

Итак, под воздействием периодической вынуждающей силы система будет совершать вынужденные колебания с частотой внешней вынуждающей силы x (t)= ( F в /mZ)cos( ω в t - α ) Однако, амплитуда этих колебаний A = F в /mZ = F в /m( ( ω 0 2 -ω в 2 ) 2 + 4 β 2 ω в 2 ) 1/2 и их отставание по фазе от вынуждающей силы а = arcsin(2 β ω в /( ( ω 0 2 -ω в 2 ) 2 + 4 β 2 ω в 2 ) 1/2 ) будут зависеть также и от параметров системы, а именно от собственной частоты колебаний ω 0 и от коэффициента затухания β. 10

Изображение слайда
11

Слайд 11

Вид зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешней вынуждающей силы A = F в /mZ = F в /m( ( ω 0 2 -ω в 2 ) 2 + 4 β 2 ω в 2 ) 1/2 показан на рисунке. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы. 11 Вынужденные колебания

Изображение слайда
12

Слайд 12: Резонанс

Вид зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы A = F в /mZ = F в /m( ( ω 0 2 -ω в 2 ) 2 + 4 β 2 ω в 2 ) 1/2 показан на рисунке. Если β << ω 0, то амплитуда колебаний резко возрастает при ω в -> ω 0. Это явление - резкий рост амплитуды колебаний при приближении частоты внешней вынуждающей силы ω в к собственной частоте колебаний системы ω 0 - называется резонанс. 12

Изображение слайда
13

Слайд 13: Резонанс

Вид зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы A = F в /mZ = F в /m( ( ω 0 2 -ω в 2 ) 2 + 4 β 2 ω в 2 ) 1/2 показан на рисунке. Точное значение резонансной частоты ω р при которой амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума, можно рассчитать, взяв производную от знаменателя амплитуды по dω в и приравняв ее нулю. 13 d ( ( ω 0 2 -ω в 2 ) 2 + 4 β 2 ω в 2 )/d ω в = = 4ω в (ω в 2 - ω 0 2 ) + 8 β 2 ω в = 0 -> ω рез 2 = ω 0 2 - 2 β 2 Если ω 0 >> β - резонанс наблюдается резкий. При ω 0 2 < 2 β 2 - явление резонанса не наблюдается

Изображение слайда
14

Слайд 14: Резонанс

Вид зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы A = F в /m( ( ω 0 2 -ω в 2 ) 2 + 4 β 2 ω в 2 ) 1/2 показан на рисунке. ω рез 2 = ω 0 2 - 2 β 2 Амплитуда колебаний в точке резонанса зависит от амплитуды вынуждающей силы и от параметров системы (для ω 0 2 > 2 β 2 ): A = F в /2m β ( ω 0 2 - β 2 ) 1/2 Если коэффициент затухания β -> 0 (сила трения мала), то A -> и даже незначительная вынуждающая сила может “раскачать” систему до больших амплитуд 8 14 Ширина резонансной кривой: ∆ω ~ β

Изображение слайда
15

Слайд 15: Резонанс

Итак, под воздействием периодической вынуждающей силы система будет совершать вынужденные колебания x в (t) = А в cos( ω в t-a) где А в = F в /m( ( ω 0 2 -ω в 2 ) 2 + 4 β 2 ω в 2 ) 1/2 а = arcsin(2 β ω в /( ( ω 0 2 -ω в 2 ) 2 + 4 β 2 ω в 2 ) 1/2 ) При резонансной частоте ω res = ( ω 0 2 - 2 β 2 ) 1/2 а = arcsin(1) = π/2 x в (t) = А res sin( ω res t) 15 A res = F в /2m β ( ω 0 2 - β 2 ) 1/2

Изображение слайда
16

Слайд 16: Резонанс. Нарастание энергии колебаний

При небольшом значении амплитуды вынуждающей силы полная амплитуда резонансных колебаний установится не сразу. Оценим скорость нарастания энергии колебаний. Будем считать, что за один период колебаний она меняется незначительно. dE/dt = Fdx(t)/dt = F в cos(ω рез t)A(t)ω рез cos(ω рез t) =F в A(t)ω рез /2 C другой стороны, усредняя по периоду колебаний, можно записать: E(t) = (m/2)(dx(t)/dt) 2 = (m/2)A 2 (t)ω 2 рез cos 2 (ω рез t) = mA 2 (t)ω 2 рез /4 или A(t) = 2 E(t) 1/2 /m 1/2 ω рез Составляем уравнение: dE/dt = F в A(t)ω рез /2 = F в Е(t) 1/2 /m 1/2 и решаем: dE Е(t) -1/2 = F в dt/m 1/2 => 2Е(t) 1/2 = F в t/m 1/2 => Е(t) = F в 2 t 2 /4m 16

Изображение слайда
17

Слайд 17: Резонанс разрушает мост в Оклахоме

17

Изображение слайда
18

Слайд 18: Резонанс в электрических колебаниях

В электрическом колебательном контуре происходят гармонические колебания напряжения (на конденсаторе) и тока с собственной частотой, определяемой емкостью C и индуктивностью L контура ω 0 = 1/(LC) 1/2 Активное сопротивление R играет роль трения в механике и приводит к затуханию колебаний и изменению частоты: ω = ( 1/ LC – (R/2L) 2 ) 1/2 R/2L - аналог коэффициента затухания β в механике. 18 Даже слабое внешнее воздействие (электрическое напряжение) c резонансной частотой : ω res = ( ω 0 2 – 2 β 2 ) 1/2 = ( 1/ LC – (R/2L) 2 ) 1/2 способно раскачать ток в контуре до больших амплитуд (если затухание R/2L невелико)

Изображение слайда
19

Последний слайд презентации: Колебательное движение. Лекция 03 24 февраля 2021 Вынужденные колебания

Спасибо за внимание! Курс общей физики НИЯУ МИФИ

Изображение слайда