Презентация на тему: Как вычислить определенный интеграл по формуле прямоугольников, трапеций и

Как вычислить определенный интеграл по формуле прямоугольников, трапеций и методом Симпсона?
Как вычислить определенный интеграл по формуле прямоугольников, трапеций и
Как вычислить определенный интеграл по формуле прямоугольников, трапеций и
Как вычислить определенный интеграл по формуле прямоугольников, трапеций и
Как вычислить определенный интеграл по формуле прямоугольников, трапеций и
Метод прямоугольников
Как вычислить определенный интеграл по формуле прямоугольников, трапеций и
Как вычислить определенный интеграл по формуле прямоугольников, трапеций и
Пример решения нестандартным, но достаточно эффективным способом (с помощью Exell) решение методом прямоугольников.xls f(x)= п*х /(x+0,2)^2 – проинтегрировать
Замечание
Метод трапеции
График
Рабочие формулы:
Пример решения с помощью Exell решение методом трапеций.xls f(x)= п*х /(x+0,2)^2 – проинтегрировать функцию на отрезке от 1 до 2 с шагом в 0,2
Метод Симпсона (метод парабол)
Расчетные формулы
Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона)
Пример решения с помощью Exell решение методом симпсона.xls f(x)= п*х /(x+0,2)^2 – проинтегрировать функцию на отрезке от 1 до 2 с шагом в 0,2
Все производные брались в «ручную» и только после этого можно было посчитать интеграл с помощью технических средств. Существуют также и другие способы решение
Спасибо за внимание!
1/20
Средняя оценка: 4.1/5 (всего оценок: 76)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (156 Кб)
1

Первый слайд презентации: Как вычислить определенный интеграл по формуле прямоугольников, трапеций и методом Симпсона?

Автор-составитель: Чех Виктория, ГД-12-3

Изображение слайда
2

Слайд 2

Численные методы – достаточно большой раздел высшей математики и серьезные учебники по данной теме насчитывают сотни страниц. На практике, в контрольных работах традиционно предлагаются для решения некоторые задачи по численным методам, и одной из распространенных задач является – приближенное вычисление определенных интегралов. В этой презентации я рассмотрю три метода приближенного вычисления определенного интеграла – метод прямоугольников, трапеций и метод Симпсона. Что нужно знать, чтобы освоить данные методы? Прозвучит забавно, но можно вообще не уметь брать интегралы. И даже вообще не понимать, что такое интегралы. Из технических средств потребуется микрокалькулятор

Изображение слайда
3

Слайд 3

Вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница не всегда возможно. Многие подынтегральные функции не имеют первообразных в виде элементарных функций, поэтому мы во многих случаях не можем найти точное значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. С другой стороны, точное значение не всегда и нужно. На практике нам часто достаточно знать приближенное значение определенного интеграла с некоторой заданной степенью точности (например, с точностью до одной тысячной). В этих случаях нам на помощь приходят методы численного интегрирования, такие как метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона (парабол) и т.п.

Изображение слайда
4

Слайд 4

Пример: f(x) – непрерывна. Это достаточное условие для дифференцирования функции на отрезке [a;b]. h = (b-a)/n – шаг, где n – количество начальных условий. Xk=X0+k*h. Вычислим интеграл с помощью 3-х следующих методов.

Изображение слайда
5

Слайд 5

Суть метода прямоугольников Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Нам требуется вычислить определенный интеграл. Обратимся к понятию определенного интеграла. Разобьем отрезок [a;b] на n частей точками. Внутри каждого отрезка выберем точку. Так как по определению определенный интеграл есть предел интегральных сумм при бесконечном уменьшении длины элементарного отрезка разбиения, то любая из интегральных сумм является приближенным значением интеграла. Суть метода прямоугольников заключается в том, что в качестве приближенного значения определенного интеграла берут интегральную сумму

Изображение слайда
6

Слайд 6: Метод прямоугольников

Где Rn - остаток

Изображение слайда
7

Слайд 7

Приведем графическую иллюстрацию метода прямоугольников. Из чертежа видно, что подынтегральная функция y=f(x) приближается кусочной ступенчатой

Изображение слайда
8

Слайд 8

С геометрической точки зрения для неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b] точное значение определенного интеграла представляет собой площадь криволинейной трапеции, а приближенное значение по методу прямоугольников – площадь ступенчатой фигуры.

Изображение слайда
9

Слайд 9: Пример решения нестандартным, но достаточно эффективным способом (с помощью Exell) решение методом прямоугольников.xls f(x)= п*х /(x+0,2)^2 – проинтегрировать функцию на отрезке от 1 до 2 с шагом в 0,2

Изображение слайда
10

Слайд 10: Замечание

Во многих случаях нахождение наибольшего значения модуля первой производной (или второй производной для метода средних прямоугольников) подынтегральной функции на отрезке интегрирования является очень трудоемкой процедурой. Поэтому можно действовать без использования неравенства для оценки абсолютной погрешности методов численного интегрирования.

Изображение слайда
11

Слайд 11: Метод трапеции

Метод трапеций обычно даёт более точное значение интеграла, чем метод прямоугольников. Криволинейная трапеция заменяется на сумму нескольких трапеций и приближённое значение определённого интеграла находится как сумма площадей трапеций.

Изображение слайда
12

Слайд 12: График

Изображение слайда
13

Слайд 13: Рабочие формулы:

Где М2 – максимальное значение из двух производных второго порядка

Изображение слайда
14

Слайд 14: Пример решения с помощью Exell решение методом трапеций.xls f(x)= п*х /(x+0,2)^2 – проинтегрировать функцию на отрезке от 1 до 2 с шагом в 0,2

Изображение слайда
15

Слайд 15: Метод Симпсона (метод парабол)

Это более совершенный способ – график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболками. Сколько промежуточных отрезков – столько и маленьких парабол. Если взять те же три отрезка, то метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций.

Изображение слайда
16

Слайд 16: Расчетные формулы

Все расчеты происходят по одному и тому же алгоритму

Изображение слайда
17

Слайд 17: Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона)

Изображение слайда
18

Слайд 18: Пример решения с помощью Exell решение методом симпсона.xls f(x)= п*х /(x+0,2)^2 – проинтегрировать функцию на отрезке от 1 до 2 с шагом в 0,2

Изображение слайда
19

Слайд 19: Все производные брались в «ручную» и только после этого можно было посчитать интеграл с помощью технических средств. Существуют также и другие способы решение интегралов: 1) Метод Гаусса 2) Метод Гаусса-Кронрода 3) Метод Чебышева 4) Методы Монте-Карло 5) Методы Рунге-Кутты

Изображение слайда
20

Последний слайд презентации: Как вычислить определенный интеграл по формуле прямоугольников, трапеций и: Спасибо за внимание!

Изображение слайда