Презентация на тему: 6. 2. Интерпретации природы волн де Бройля. Волновой пакет как (неудачная)

6. 2. Интерпретации природы волн де Бройля. Волновой пакет как (неудачная)
6. 2. Интерпретации природы волн де Бройля. Волновой пакет как (неудачная)
6. 2. Интерпретации природы волн де Бройля. Волновой пакет как (неудачная)
6. 2. Интерпретации природы волн де Бройля. Волновой пакет как (неудачная)
6. 2. Интерпретации природы волн де Бройля. Волновой пакет как (неудачная)
6. 2. Интерпретации природы волн де Бройля. Волновой пакет как (неудачная)
6. 2. Интерпретации природы волн де Бройля. Волновой пакет как (неудачная)
6. 2. Интерпретации природы волн де Бройля. Волновой пакет как (неудачная)
6. 2. Интерпретации природы волн де Бройля. Волновой пакет как (неудачная)
6. 2. Интерпретации природы волн де Бройля. Волновой пакет как (неудачная)
6. 2. Интерпретации природы волн де Бройля. Волновой пакет как (неудачная)
6. 2. Интерпретации природы волн де Бройля. Волновой пакет как (неудачная)
6. 2. Интерпретации природы волн де Бройля. Волновой пакет как (неудачная)
6. 2. Интерпретации природы волн де Бройля. Волновой пакет как (неудачная)
6. 2. Интерпретации природы волн де Бройля. Волновой пакет как (неудачная)
6. 2. Интерпретации природы волн де Бройля. Волновой пакет как (неудачная)
1/16
Средняя оценка: 4.7/5 (всего оценок: 45)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (541 Кб)
1

Первый слайд презентации

6. 2. Интерпретации природы волн де Бройля. Волновой пакет как (неудачная) модель частицы-волны. Волны вероятности 1 Итак, было установлено, что объекты, которые принято представлять частицами (электроны, атомы, молекулы, нейтроны), обладают волновыми свойствами. Предлагались разные варианты «интерпретаций волновой механики» – физических способов совмещения корпускулярных и волновых свойств в одном объекте. Де Бройль предложил концепцию «двойного решения», предполагающее использование уравнений динамики, имеющих одновременно сингулярные и волновые решения. Волна-частица состоит из двух объектов разной физической природы. Движение частицы (сингулярности) направляется движением «волны-пилота». Эта концепция не получила признания. ( Хотя была развита затем Дэвидом Бомом. ) Но наиболее естественным поначалу казалось предположение, что частицы представляют собой «пакеты» волн некоторого материального (обладающего энергией) поля. Волновой «пакет» -- такая комбинация гармонических волн, для которой амплитуда поля велика лишь в ограниченной области пространства. Плоская гармоническая волна де Бройля с точно заданными значениями частоты и волнового вектора не соответствует обычным представлениям о частице, поскольку полностью делокализована.

Изображение слайда
2

Слайд 2

Рассмотрим способы пространственной локализации для одномерной волны, распространяющейся вдоль оси x. Ограничимся лишь действительной частью функции. Гармоническая волна с частотой  0 и волновым числом k 0 u 1 ( x, t ) = a cos (  0 t – k 0 x ) полностью делокализована, т.к. ее амплитуда не зависит от x и t. Определим вторую волну с той же амплитудой и близкими значениями частоты и волнового числа: u 2 ( x, t ) = a cos (  t – kx ), где k – k 0 =  k и  –  0 =   – малые величины ( << k,  ). Сложим две эти волны, получив суммарную волну: Заметим, что в аргументе второго косинуса присутствуют частота и волновой вектор, не сильно отличающиеся от  и k : ( В принципе, для (  +  0 ) /2 и ( k + k 0 )/2 можно ввести и специальные обозначения. ) 2

Изображение слайда
3

Слайд 3

В этой формуле величину можно рассматривать как медленно меняющуюся амплитуду волны с ( почти ) исходными значениями частоты и волнового числа. На графике функции u( х, t ) амплитуда А ( x, t ) задает форму гармонической огибающей: 3 Таким образом, переход от одного к двум значениям частоты / волнового числа позволяет частично локализовать волну – в некоторых областях ее амплитуда близка к нулевой.

Изображение слайда
4

Слайд 4

Скорость перемещения максимумов и минимумов волны «внутри огибающей» можно описать, потребовав постоянства аргумента косинуса (т.е. фазы). Например, его равенства нулю:  t – kx =0  x = (  / k )  t Величину v ф =  / k называют « фазовой скоростью волны». Скорость перемещения максимумов огибающей («групповую скорость волны») можно получить, потребовав постоянства аргумента косинуса в выражении: 4 Нетрудно видеть, что групповая скорость выражается формулой v гр =   /  k В пределе мал о сти   и  k их отношение стремится к производной : v гр = d  / d k При условии  ~ k («при линейном законе дисперсии») фазовая скорость совпадает с групповой.

Изображение слайда
5

Слайд 5

Для локализации волны в ограниченной области пространства / времени (формирования волнового пакета) нужно просуммировать бесконечное число волн. Пусть параметр k (и соответствующая частота  ) непрерывно распределены в интервале ограниченной ширины [ k 0 –  k ; k 0 +  k ]. Результат сложения таких элементарных волн ( одинаковой амплитуды a ) получим интегрированием: Для вычисления интеграла требуется конкретизировать «закон дисперсии»  ( k ). Считаем интервал  k малым. Тогда произвольную дисперсионную зависимость  ( k ) можно представить в виде ряда Тейлора: Здесь через  0,   0 и    0 обозначены значения функции  ( k ) и ее производных при k = k 0 ( это некоторые числа ). Ограничимся первым членом разложения:. При этом запомним, что погрешность этой формулы будет определяться в основном старшим отброшенным членом 5

Изображение слайда
6

Слайд 6

После подстановки интеграл приобретает вид или ( Аргумент косинуса – линейная функция от ( k-k 0 ). Косинус суммы преобразуется по тригонометрической формуле cos(  +  )=cos  cos  – sin  sin , переход от d k к d( k-k 0 ), интеграл от sin по симметричному интервалу =0 ). Опуская детали вычислений: результат может быть представлен в виде произведения «волнового» и медленно (при малом  k ) меняющуюся амплитудного сомножителей. u ( x, t )  A ( x, t ) cos(  0 t – k 0 x ) Амплитуда: , где  =  k  (   0 t – x ) 6 «Мгновенный снимок» волнового пакета ( в безразмерных координатах ) при t=0 

Изображение слайда
7

Слайд 7

u ( x, t )  A ( x, t ) cos(  0 t – k 0 x ) Амплитуда: , где  =  k  (  0 t – x ) Свойства амплитудной функции: при   0. при  =   – и пакет пространственно ограничен размером  x : таким, что  x  k =2  ( запомнить для дальнейшего ! ). В данном приближении, волновой пакет движется в пространстве, не меняя формы своей огибающей A ( x, t ). Скорость его движения (групповую скорость ) можно определить из выражения для . Она равна v гр =   0  d  / d k ( при k = k 0 ). 7 «Мгновенный снимок» волнового пакета ( в безразмерных координатах ) при t=0 

Изображение слайда
8

Слайд 8

u ( x, t )  A ( x, t ) cos(  0 t – k 0 x ) Амплитуда: , где  =  k  (   0 t – x ) Фазовая скорость волн (скорость перемещения максимумов и минимумов внутри огибающей волнового пакета) определяется из верхнего уравнения и равна v ф =  0 / k 0 -- как и у отдельной гармонической волны со «средним» волновым числом k 0. Приведенные выше равенства являются точными, если закон дисперсии линеен. При условии  = c  k имеем : v ф =  0 / k 0 =  / k = c = d  / d k = v гр. При этом волновой пакет перемещается как целое со скоростью c. И, на первый взгляд, он представляется удачной моделью частицы-волны. 8 «Мгновенный снимок» волнового пакета ( в безразмерных координатах ) при t=0 

Изображение слайда
9

Слайд 9

Закон дисперсии линеен, например, для фотона в вакууме. Для него k = p / ħ = ( ħ  / c ) / ħ =  / c – как и для классической электромагнитной волны. Однако для частиц, обладающих массой покоя, закон дисперсии имеет иной вид. Дисперсионную зависимость для них можно получить, используя уравнения де Бройля и выражение, связывающее энергию частицы с ее импульсом. Уравнения де Бройля: и. Простейшее нерелятивистское выражение для полной энергии свободной частицы с массой покоя m 0 : соответствует закону дисперсии: Эта зависимость нелинейна. Точное релятивистское выражение: приводит к – при m 0 0 зависимость также нелинейна. Следствие нелинейности: фазовая и групповая скорости непостоянны (зависят от k и  ) и не равны друг другу. 9  = ħ  = m 0 c 2 + p 2 /2 m 0  2 = m 0 2 c 4 + c 2 p 2

Изображение слайда
10

Слайд 10

Расчет показывает, что групповая скорость волны де Бройля d  / d k равна скорости частицы p / m (!!). С одной стороны, такое совпадение кажется примечательным. С другой – для стабильности волнового пакета требуется, чтобы составляющие его элементарные волны с разными k = p / ħ распространялись с одинаковой скоростью. В противном случае, пакет со временем «расплывается». Математически, расплывание волнового пакета связано с отброшенным при приближенном рассмотрении нелинейным членом дисперсионной зависимости Его размерность – циклическая частота. Домножив на время , получим величину неучтенного ранее отклонения фазы парциальной волны – составляющей волнового пакета с наибольшим отклонением от «среднего» волнового числа k 0 (оно равняется  k ). Будем считать существенным отклонение фазы на  ( вместо взаимного подавления составляющих волнового пакета со «средним» и «крайним» значениями волнового числа, они друг друга усиливают, или наоборот ). Получаем условие: 10

Изображение слайда
11

Слайд 11

Исходя из этого условия и дисперсионных зависимостей для массивной нерелятивистской частицы, получаем время расплывания волнового пакета где  x = 2  /  k – пространственный размер пакета. Таким образом, время расплывания («время жизни») волнового пакета, описывающего массивную частицу оказывается конечным. Оно определяется ее массой и «размером». Для макроскопических объектов оно велико. Однако, для электрона (стабильной частицы) оценка дает весьма малые времена. Для  x = 10 –1 0 м (порядка размера атома)  ~ 10 –1 7 с ; для  x = 10 –1 5 м (порядка классического радиуса электрона)  ~ 10 –26 с. Таким образом, представление массивных частиц в виде волновых пакетов встречает значительные трудности, связанные с ограниченным временем жизни таких пакетов. Однако данное возражение против такого представления – не единственное и даже не самое серьезное. 11

Изображение слайда
12

Слайд 12

При взаимодействии с препятствиями волны поля (а следовательно, и составленные из них волновые пакеты ) делятся на части. Примеры: преодоление полупрозрачных границ с частичным отражением; дифракция с образованием многих максимумов. Но частицы (в частности, электроны) неделимы – это следует из экспериментов. Была предложена еще одна интерпретация волн де Бройля, согласно которой волновые свойства присущи не отдельным частицам, а их потокам – то есть, волновые явления являются коллективными. Эта гипотеза была опровергнута результатами специальных экспериментов. Один из наиболее известных – опыт Л.М. Бибермана, Н.Г. Сушкина и В.А. Фабриканта (1949 г.). Опыт во многом аналогичен более ранним экспериментам со световыми потоками низкой интенсивности. Схема эксперимента была подобна схеме опыта Томсона-Тартаковского. Для одного и того же образца ( Ni ) были получены электронограммы при высокой и при низкой интенсивности электронного потока, различавшихся на 7 порядков величины. Изображения оказались идентичными. 12

Изображение слайда
13

Слайд 13

При низкой интенсивности время пролета электрона от катода до регистрирующего устройства (фотопластинки) было в 30 000 меньше среднего интервала между моментами эмиссии последовательных электронов. Следовательно, в каждый момент в пространстве прибора присутствовало не более одного электрона. Тем не менее, регистрировалась дифракционная картина в виде набора колец. Вывод – волновые свойства (способность к дифракции) присущи отдельному электрону. 13 К опыту Бибермана, Сушкина и Фабриканта В результате была принята статистическая интерпретация волн де Бройля как волн вероятности («копенгагенская интерпретация»). Она базируется на идеях, сформулированных в 1926 г. М. Борном. Max Born (1882-1970)

Изображение слайда
14

Слайд 14

Согласно этой интерпретации, волна де Бройля нематериальна и не может наблюдаться непосредственно. Она представляет собой «волну вероятности». Ее значение, точнее, квадрат амплитуды комплекснозначной «волновой функции», в каждой области пространства определяет вероятность обнаружения здесь описываемой частицы. Поведение описываемой частицы, таким образом, является недетерминированным – оно не определяется полностью начальными условиями и не может быть описано иначе, чем через понятие вероятности. Такой подход оказался правильным – то есть, продуктивным. Позволил получить согласие с экспериментом. Выбор в качестве искомой комплекснозначной функции, к которой должен применяться принцип суперпозиции, позволяет описывать интерференционные явления. Результат сложения комплексных функции друг с другом определяется соотношением их фаз. В то же время, наблюдаемым в эксперименте параметром волновой функции является квадрат амплитуды – действительная положительная величина, которая может быть сопоставлена вероятности события. 14

Изображение слайда
15

Слайд 15

Запись волновой функции (волны де Бройля) для свободной частицы в виде представляется удачной. Это решение волнового уравнения для свободного пространства. Амплитуда такой волны всюду одинакова. Так и должно быть – в свободном пространстве нет причин предпочесть одну область пространства другой. Фазовый множитель (экспонента) позволяет описывать интерференцию. Фаза определяется с точностью до постоянной. Задача описания поведения частицы, таким образом, сводится к определению волновой функции для заданных условий – обычно для несвободной частицы. «Квантовая механика» -- теория нахождения таких решений. Применим на качественном уровне статистическую (вероятностную) интерпретацию природы волн де Бройля к результатам эксперимента Бибермана, Сушкина и Фабриканта по дифракции отдельных электронов. 15

Изображение слайда
16

Последний слайд презентации: 6. 2. Интерпретации природы волн де Бройля. Волновой пакет как (неудачная)

В этой интерпретации место прихода каждого электрона на фотопластинку является случайным. Оно не зависит от мест прихода прочих электронов – поэтому совпадение результатов измерений с потоками разной интенсивности естественно. В то же время, вероятность прихода электрона в разные точки экрана неодинакова. Она пропорциональна квадрату амплитуды волновой функции, формирование которой является результатом интерференции волн вероятности. 16 К опыту Бибермана, Сушкина и Фабриканта С приходом на пластинку многих электронов начинает «работать» закон больших чисел – относительная плотность распределения электронов по поверхности стремится к распределению вероятности. Вследствие этого дифракционная картина (результат интерференции нематериальных волн вероятности) становится наблюдаемой. Данная интерпретация позволяет совместить опытные факты дискретности (неделимости) электронов и их способности к дифракции.

Изображение слайда