Презентация на тему: ГОТОВИМСЯ к ГИА 2014 геометрические задачи на доказательство ( 2 часть)

ГОТОВИМСЯ к ГИА 2014 геометрические задачи на доказательство ( 2 часть)
ГОТОВИМСЯ к ГИА 2014 геометрические задачи на доказательство ( 2 часть)
Содержание
Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны
В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.
Докажите, что медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой угла, противолежащего основанию.
В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и
Докажите, что медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.
Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.
Докажите, что длина отрезка, соединяющего середины двух сторон треугольника, равна половине длины третьей стороны.
Докажите, что если две хорды АВ и С D пересекаются в т.Е, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: АЕ · ЕВ = СЕ · Е D
В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.
Докажите, что диаметр, проходящий через середину хорды окружности, перпендикулярен ей.
Докажите, что отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
Докажите что, градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается
Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобедренная
Докажите, что если две окружности имеют общую хорду, то прямая, проходящая через центры этих окружностей, перпендикулярна данной хорде.
Докажите, что если биссектриса пересекает основание трапеции, то от трапеции отсекается равнобедренный треугольник
Биссектрисы всех внутренних углов параллелограмма попарно пересекаются. Докажите, что полученный четырехугольник является прямоугольником.
Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб – квадрат.
Докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
Докажите, что если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то высота равна средней линии.
На стороне ВС квадрата АВС D взята точка К. Докажите, что площадь треугольника АК D равна половине площади квадрата.
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два треугольника. Докажите, что площади этих треугольников равны
Докажите, что биссектрисы, проведенные из вершин основания равнобедренного треугольника, равны.
Интернет-ресурсы
1/26
Средняя оценка: 4.2/5 (всего оценок: 69)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (256 Кб)
1

Первый слайд презентации

ГОТОВИМСЯ к ГИА 2014 геометрические задачи на доказательство ( 2 часть)

Изображение слайда
2

Слайд 2

Доказательство – это рассуждение, которое убеждает. (Ю.А. Шиханович)

Изображение слайда
3

Слайд 3: Содержание

Приведено решение – 16 задач Для самостоятельной работы – 6 задач

Изображение слайда
4

Слайд 4: Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны

Доказательство. ‹1+ ‹2 + ‹3 + ‹4=180 º т.к. ‹1=‹2, а ‹3=‹4, то 2(‹2)+2(‹4)=180 º 2(‹2+‹4)=180 º ‹2+‹4 = 90 º Значит биссектрисы перпендикулярны. 1 2 3 4 :2

Изображение слайда
5

Слайд 5: В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм

то BЕ = KD, CF = AM. В параллелограмме противоположные углы равны, то треугольники EBF и KDM, FCK и MAE равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что EF=MK, EM=FK. Так как противоположные стороны четырехугольника EFKM равны, то по признаку параллелограмма данный четырехугольник является параллелограммом. Доказательство : Так как в параллелограмме противоположные стороны равны и по условию известно, что АЕ = CK, BF = DM,

Изображение слайда
6

Слайд 6: Докажите, что медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой угла, противолежащего основанию

Доказательство: ∆АВК=∆СВК по двум сторонам и углу между ними. Значит ‹3=‹4, т.к. лежат в равных треугольниках против равных сторон т.е. ВК является биссектрисой. А В С К 1 2 3 4

Изображение слайда
7

Слайд 7: В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны

Доказательство : 1) ∆ АОВ = ∆ СОD по двум сторонам и углу между ними 2) AO = BO = CO = DO как радиусы окружности, 3) ‹ AOB  = ‹ COD - по условию. Следовательно, высоты OK и OL равны как соответственные элементы равных треугольников.

Изображение слайда
8

Слайд 8: Докажите, что медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны

Доказательство. ∆ АВЕ = ∆ СВК по двум сторонам и углу между ними. Значит АЕ = СК как стороны лежащие в равных треугольниках против равных углов А В С К Е

Изображение слайда
9

Слайд 9: Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат

Таким образом, угол 8-миугольника равен 135 º Если вершины последовательно соединить отрезками через одну, то образуются четыре равных равнобедренных треугольника, углы при основании которых равны: (180 º -135 º ) :2 = 22,5 º. Тогда угол между двумя отрезками, которые соединяют вершины равен: 135 º -22,5 º· 2=135 º -45 º = 90 º. Таким образом, если вершины восьмиугольника последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат. Решение: Вычислим угол восьмиугольника по формуле:

Изображение слайда
10

Слайд 10: Докажите, что длина отрезка, соединяющего середины двух сторон треугольника, равна половине длины третьей стороны

Доказательство. MN – средняя линия (по условию задачи) 2) ∆ ВМ N ~ ∆ ВАС, по второму признаку подобия, т.е. ‹В – общий и ВМ:ВА= = В N :ВС=1:2 Значит к = ½ ( коэффициент подобия) 3) Из подобия треугольников следует, что ‹1=‹2 и М N :АС=1/2. Значит М N =1/2 АС А В С M N 2 1

Изображение слайда
11

Слайд 11: Докажите, что если две хорды АВ и С D пересекаются в т.Е, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: АЕ · ЕВ = СЕ · Е D

Доказательство. В треугольниках А D Е и СВЕ : а) ‹1 = ‹2 (как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу В D ) б) ‹3=‹4 (как вертикальные) Т.е. ∆А D Е ~∆ СВЕ (по двум углам) Значит: АЕ:СЕ= D Е:ВЕ, или АЕ · ЕВ = СЕ · Е D О D В А С Е 1 2 3 4

Изображение слайда
12

Слайд 12: В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний

Доказательство: т.к. точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно, то: MN - средняя линия и равна ½ АС МК - средняя линия и равна ½ ВС NK - средняя линия и равна ½ АВ, но т.к. ∆АВС – равносторонний, то и ∆MNK — равносторонний.

Изображение слайда
13

Слайд 13: Докажите, что диаметр, проходящий через середину хорды окружности, перпендикулярен ей

Доказательство. по чертежу видно, что ∆АВС и ∆АВК – прямоугольные, т.к. ‹АСВ и ‹АКВ – вписанные и опираются на половину окружности и значит равны 90 º. ‹1=‹2 как вписанные и опирающиеся на равные дуги. Тогда ∆АВС = ∆АВК (по гипотенузе и острому углу) и значит АС=АК. Тогда ∆АСК – равнобедренный и АВ его медиана, а значит и высота, т.е. АВ перпендикулярен СК О А В С К 1 2

Изображение слайда
14

Слайд 14: Докажите, что отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны

Доказательство: Т.к. АС и СВ касательные, то ОА┴АС и ОВ┴ВС. Тогда ∆ОАС=∆ОВС по гипотенузе ОС (общая) и катету ( ОА=ОВ как радиусы одной окружности) Значит АС=ВС, т.к. в равных треугольниках против равных углов лежат и равные стороны О А В С

Изображение слайда
15

Слайд 15: Докажите что, градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается

Доказательство: Проведём диаметр ВК. Тогда ‹1 будет внешним углом ∆АОВ и ‹1= ‹2+‹3, но ‹2= ‹3 как углы при основании равнобедренного ∆АОВ Т.е. ‹1=2 ·‹ 3 => ‹3= ½·‹ 1, но т.к. ‹1 - центральный, то ‹1= ں АК; ‹3= ½· ں АК Аналогично: ‹6= ½· ں СК Значит ‹3+‹6 = ½· ں АК+ ½· ں СК= ½· ( ں АК+ ں СК)= = ½· ں АС, т.е вписанный угол АВС= ½· ں АС О А В С К 1 2 3 4 5 6

Изображение слайда
16

Слайд 16: Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобедренная

Доказательство: Т.к. дана трапеция, то ‹1+‹2=180 º (односторонние углы) Т.к. около трапеции можно описать окружность, то ‹1+‹3 =‹2+‹4 =180 º, т.е. ‹1= 180 º - ‹ 3. Подставим это в первое выражение ‹1+‹2=180 º и получим: (180 º - ‹ 3) +‹2=180 º => ‹2- ‹ 3 =180 º - 180 º =0, т.е. ‹2= ‹ 3. Тогда и ‹1=‹4, т.е. трапеция равнобедренная О 1 2 3 4

Изображение слайда
17

Слайд 17: Докажите, что если две окружности имеют общую хорду, то прямая, проходящая через центры этих окружностей, перпендикулярна данной хорде

Доказательство: ∆О 1 АО 2 =∆О 1 ВО 2 по трем сторонам (О1О2 – общая; О1А=О1В как радиусы одной окружности О1; О2А=О2В как радиусы окружностьО2). Значит ‹1=‹2. Тогда биссектриса О 1 К в равнобедренном треугольнике О 1 АВ является и высотой, т.е. О 1 О 2 ┴АВ О 1 О 2 А В К 1 2

Изображение слайда
18

Слайд 18: Докажите, что если биссектриса пересекает основание трапеции, то от трапеции отсекается равнобедренный треугольник

Доказательство: Если АК -биссектриса, то ‹1=‹2, но т.к. АВС D -трапеция, то ‹1=‹3 как внутренние накрест лежащие. Значит ‹2=‹3 и тогда ∆АВК-равнобедренный А В С D К 1 2 3

Изображение слайда
19

Слайд 19: Биссектрисы всех внутренних углов параллелограмма попарно пересекаются. Докажите, что полученный четырехугольник является прямоугольником

Доказательство: Т.к. АК - биссектриса, то она отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник АВК, т.е. АВ=ВК. Т.к. ВО – биссектриса, то ВР биссектриса в равнобедренном ∆КАВ, опущенная на основание, значит является и высотой, т.е. ‹1- прямой => и ‹2- прямой. Аналогично ( док-те сами ) можно доказать, что ‹3 = 90 º => ‹ 4=90 º Значит в четырёхугольнике: ‹2+‹4=180 º и два оставшихся равных угла тоже остаётся 180 º т.е все углы - прямые Тогда четырёхугольник – прямоугольник. А В С D М К О Н Р R 1 2 3 4

Изображение слайда
20

Слайд 20: Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб – квадрат

Доказательство: самостоятельно в парах 1 2 3 4

Изображение слайда
21

Слайд 21: Докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме её оснований

Доказательство: самостоятельно или стр.210 в учебнике по геометрии 7-9 А.С. Атанасяна

Изображение слайда
22

Слайд 22: Докажите, что если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то высота равна средней линии

Доказательство: самостоятельно

Изображение слайда
23

Слайд 23: На стороне ВС квадрата АВС D взята точка К. Докажите, что площадь треугольника АК D равна половине площади квадрата

Доказательство: К К А В С D самостоятельно

Изображение слайда
24

Слайд 24: Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два треугольника. Докажите, что площади этих треугольников равны

Доказательство: самостоятельно S S1 S2 S4 S3

Изображение слайда
25

Слайд 25: Докажите, что биссектрисы, проведенные из вершин основания равнобедренного треугольника, равны

Доказательство: самостоятельно

Изображение слайда
26

Последний слайд презентации: ГОТОВИМСЯ к ГИА 2014 геометрические задачи на доказательство ( 2 часть): Интернет-ресурсы

А.В. Семенов, И.В. Ященко и др. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Математика 2014., М., Интелект-Центр, 2014

Изображение слайда