Студент: Кошма Анастасия Руслановна Научный руководитель: доцент Забелина С.Б. Физико-математический факультет Кафедра высшей алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики Москва, 2017 Методы и приемы решения иррациональных уравнений с параметром
Целью курсовой работы является изучение методов и приемов решения иррациональных уравнений (разных видов), содержащие параметр. Для достижения данной цели нам необходимо выделить следующие задачи: 1) Дать основные понятия иррациональных уравнений с параметром; 2) Выявить основные положения теории решения иррациональных уравнений с параметром; 3) Рассмотреть примеры решения тригонометрических уравнений с параметром; Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению уравнений, содержащих параметр. В настоящее время, задачи и уравнения, содержащие параметр, входят в Единый Государственный Экзамен, но, к сожалению, их решение часто вызывает трудности у учеников.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ
Равенство двух функций, от одних и тех же аргументов называется уравнением. Уравнения подразделяются на две большие группы: алгебраические и трансцендентные.
Среди алгебраических уравнений выделяют также: 1) целые — с обеими частями, состоящими из целых алгебраических выражений по отношению к неизвестным; 2) дробные — содержащие целые алгебраические выражения в числителе и знаменателе; 3) иррациональные — алгебраические выражения в котором переменная содержится под знаком радикала или возведена в дробную степень. Более подробно мы будем рассматривать уравнения 3 типа.
К иррациональным уравнениям относятся уравнения вида = B ( x ), =, A = 0 где A ( x ) и B ( x ) – выражения с переменной. Главной идеей решения иррационального уравнения состоит в сведении этого уравнения к рациональному уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению. Основной способ для избавления от корня и получить рациональный вид уравнения – это возведение обеих частей этого уравнения в одну и ту же степень, которая имеет корень, содержащий неизвестное, и последующее «освобождение» от радикалов по формуле: =
Рассмотрим применение данного метода для решения иррациональных уравнений вида: = B ( x ) Например, решим иррациональное уравнение: = 2 x +5 Решение. Нам необходимо сначала возвести обе части в квадрат. Это действие мы производим для того, что бы избавиться от радикалов. Благодаря этому, уравнение приобретет привычный нам с Вами вид и решить его нам не составит особых трудностей: 5 – 4 x = 4 + 20 x + 25 Перенесем все в правую сторону и приравняем к нулю: 4 + 20 x +4 x – 5 + 25 = 0 4 + 24 x + 20 = 0 Разделим все уравнение на 4: + 6 x + 5 = 0
Получили привычное нам квадратное уравнение. Решить его можно с помощью нахождения дискриминанта, либо с помощью теоремы Виета. Воспользуемся дискриминантом: D = - 4 ac = 36 – 4 * 1* 5 = 36 – 20 = 16; = ±4; ; = -5, = -1; Выполним проверку: подставим значение (-5) в наше исходное уравнение: = -10 + 5; 5 = -5 – неверно, соответственно значение (-5) не подходит. Подставим (-1): = -2 + 5 3 = 3 – верно, соответственно значение (-1) является корнем данного иррационального уравнения. Ответ: -1
В процессе решения уравнений важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение. Теорема 1: Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак, то получим уравнение, равносильное данному. Доказательство: Докажем, что уравнение f ( x ) = g ( x )+ q ( x ) (1) равносильно уравнению f ( x ) – q ( x ) = g ( x ) (2) Пусть х = а – корень уравнения. Значит имеет место числовое равенство f ( a )= g ( a )+ q ( a ). Но тогда по свойству действительных чисел будет выполняться и числовое равенство f ( a )- q ( a )= g ( a ) показывающее, что а – корень уравнения (2). Аналогично доказывается, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1). Что и требовалось доказать.
Теорема 2: Если обе части уравнения умножить на отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному. Доказательство: докажем, что уравнение 6х–3=0 равносильно уравнению 2х–1=0 решим уравнение 6х–3=0 и уравнение 2х–1=0 Так как корни уравнений равны, то уравнения равносильны. Что и требовалось доказать.
Параметр - это величина, которая входящих в формулы и выражения, значение коей в рамках рассматриваемой задачи является постоянным. Существует несколько способов решения задач с параметром. Рассмотрим их: Способ I - аналитический. Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Способ II - графический. В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости ( x;y ), или в координатной плоскости ( x;a ). Способ III - решение относительно параметра. При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ
Способ I - аналитический. x – = 1 (1) Решение: Возведем в квадрат обе части данного уравнения с последующей проверкой полученных решений. Перенесем x в правую сторону и умножим на (-1): = x – 1 (2) При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим: 2 x ² - 2 x + (1 – a ) = 0 D = 2 a – 1 Особое значение : а = 0,5. Отсюда : 1) при а > 0,5 х 1,2 = 0,5 ( 1 ± ); 2) при а = 0,5 х = 0,5 ; 3)при а <0,5 уравнение не имеет решений. Проверка: 1) при подстановке х = 0,5 в уравнение (2), равносильное исходному, получим неверное равенство. Соответственно, x = 0,5 не является решением (2) и (1) уравнений; 2) если подставить х 1 = 0,5 ( 1 ± ) в (2) получим: -0,5 ( 1 + ) = – ( 0,5 ( 1 - )) 2 Так как левая часть равенства отрицательна, то не удовлетворяет исходному уравнению. 3) подставим х 2 в уравнение ( 2 ): Проведя равносильные преобразования, получим: Если то можно возвести полученное равенство в квадрат, то получим: Имеем истинное равенство при условии, если: [10] Это условие выполняется тогда и только тогда, если а ≥1. Так как равенство истинно при а ≥1, а х 2 может быть корнем уравнения (1) при а > 0,5, соответственно, х 2 является корень уравнения при а ≥1.
Способ II - графический. Стандартный способ решения уравнений в отдельных случаях приводит к сложным преобразованиям. Процесс решения может быть упрощен, если применить графический прием. Использование графического метода сводится к построению и анализу графиков функций, с помощью которых составлено уравнение. a ( x + 1 ) = Используя графический метод решения, найдем все значения параметра, при которых прямая y = a ( x + 1 ) имеет хотя бы одну общую точку с графиком функции y = Заметим, что для прямой y = a ( x + 1) параметр а является угловым коэффициентом (при изменении параметра одна прямая будет переходить в другую с помощью поворота около точки (-1;0), так как для любого ay ( -1 ) = 0. По графику, который изображен выше, мы видим, что искомыми являются прямые, лежащие внутри заштрихованной пары вертикальных углов, включая границы. Им соответствуют значения a ∈[0;, где отвечает моменту касания прямой y = a ( x + 1 ) графика функции y = > 0 Значение находим из условия, что уравнение a ( x + 1 ) = имеет ровно один корень. После преобразований получим квадратное уравнение: + ( 2 – 1 ) x + = 0 D = 1 - 4 1 - 4 = 0 = ±0,5 Так как > 0,то корнем данного уравнения будет являться число 0,5
Способ III - решение относительно параметра. В данной системе вычтем из первого уравнения второе - = 0 + = Рассмотрим функцию f ( t ) = + Используя свойство суммы возрастающих функций, делаем вывод что функция f ( t ) возрастающая. Заметим, что f ( x ) = f ( y ). Следовательно x = y. Отсюда получаем - = 1 Очевидно, что – b ≥ - b А значит, если a ≥ b + 1, то x = y =, если a < b + 1, то система не имеет решений.
Пример 1 Решение: Перепишем уравнение в следующем виде: x – 1 - + 1 – a = 0 Рассмотрим его как квадратное относительно. Находим дискриминант уравнения D = 4 a – 3 Уравнение (1) имеет решение только в том случае, если a ≥. Имеем: Заметим, что уравнение (2) имеет решение тогда и только тогда, когда 1 - ≥ 0, то есть при a ≤ 1. Решив уравнения (2) и (3), получим при ≤ a ≤ 1: , Таким образом, приходим к следующему: при ≤ a ≤ 1 уравнение имеет два корня: ;при а, уравнение имеет один корень: ;при a < решений нет.
Пример 3 Решение: f ( x ) = a, x ≥ -2 Построим графики этих функций (рис.2). Из графика видно, что при уравнение имеет единственное решение. а≥ -2 Ответ: уравнение имеет единственное решение -2 Рис. 2
Пример 8 Решение В этой системе нам необходимо вычесть из первого уравнения второе - = 0 + = - Рассмотрим функцию f ( t ) = + По свойству суммы возрастающих функций делаем вывод, что f ( t ) является возрастающей функцией. f ( x ) = f ( y ), а следовательно x = y Получаем + = 4 Не трудно заметить, что = y, но если a < b + 2, то система не имеет решений.
В данной курсовой работе познакомились с понятием уравнения, параметра, иррационального уравнения, а так же научились решать иррациональные уравнения, содержащие параметр.
1) Открытый урок : [ Электронный ресурс ]., 2003 – 2017. http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/579138/:( Дата обращения на ресурс 25. 11. 17 ). 2) Алгебра [Текст]: учебник для 9 класса средней школы / Ш.А. Алимов [и др.]; отв. ред. А.Н. Тихонов. – М.: Просвещение, 1992. 3) Алгебра [Текст]: учебник для 9 класса средней школы / Ю.Н. Макарычев [и др.]; отв. ред. С.А. 4) Ратников, Н.П. От уравнения с параметром – к графику, задающему параметр [Текст]/ Н.П. Ратников // Математика в школе – 1990. - №3. – С. 80. 5) Кожухова, С.А. Свойства функций в задачах с параметром [Текст]/ С.А. Кожухова, С.К. Кожухов // Математика в школе – 2003. - №7. – С. 17-24. 6) Национальная психологическая энциклопедия: [ Электронный ресурс ]., 2017. https://vocabulary.ru/termin/parametr.html ( Дата обращения на ресурс: 15. 10.17 ). 7) Электронный научно – практический журнал «Современные научные исследования и инновации» [ Электронный ресурс ]., 2017. http://web.snauka.ru/issues/2015/10/58207 ( Дата обращения на ресурс 25.11.17). 8) Инфоурок [ Электронный ресурс ]., 2017. https :// infourok. ru / metody _ resheniya _ zadach _ s _ parametrami -398722. htm ( Дата обращения на ресурс 8.10.17 ) 9) Педагогические технологии и информационное образование [ Электронный ресурс ]., 2017. http://ikted.ru/articles/94/ ( Дата обращения на ресурс 2.10.17 ) 10) Параметры [ Электронный ресурс ]., http://parametry.narod.ru/uravneniya.html ( Дата обращения на ресурс 18.10.17 ) 11) Дробно – рациональные и иррациональные уравнения и неравенства с параметрами [ Электронный ресурс ]., https://pedportal.net/attachments/000/500/568/500568.pdf?1426921098 ( Дата обращения на ресурс 22.11.17) 12) Старков В. Н. «165 задач с параметрами» [ Электронный ресурс ]., http://www.apmath.spbu.ru/ru/staff/starkov/165.pdf (Дата обращения на ресурс 25.11.17) 13) Математика химия физика [ Электронный ресурс ] http://studbooks.net/2192503/matematika_himiya_fizika/transtsendentnye_uravneniya_parametrom_metody_resheniy (Дата обращения на ресур с25.11.17 )
Slide-Share