Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Балтийский федеральный университет имени Иммануила Канта» Институт природопользования, территориального развития и градостроительства ПРОЕКТНАЯ РАБОТА На тему: «Применение понятия множества» Специальность: 07.02.01 Архитектура Разработала студентка Группы А-11 ________П.В. Мамонкина Руководитель ________Е.Х. Тавгер Консультант ________И.О. Сидоренко Калининград 2020г.
Содержание ВВЕДЕНИЕ 1 ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА 1.1 Определение множества 1.2 Способы задания множества 1.3 Подмножества 2 ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 2.1 Объединение 2.2 Пересечение 2.3 Разность Заключение Список использованной литературы 2
ВВЕДЕНИЕ Теория множеств как математическая дисциплина создана Кантором. Теория множеств стала основой многих разделов математики — общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и оказала существенное влияние на современное понимание предмета математики. В первой половине XX века теоретико-множественный подход был привнесён и во многие традиционные разделы математики, в связи с чем стала широко использоваться в преподавании математики, в том числе в школах. Людям постоянно приходится иметь дело с различными совокупностями предметов, что повлекло за собой возникновение понятия числа, а затем и понятия множества, которое является одним из основных простейших математических понятий и не поддается точному определению. Множества это – специальная самостоятельная тема, которая относится к области основ математики. Множества как тип данных оказались очень удобными для программирования сложных жизненных ситуаций, так как с их помощью можно точно моделировать объекты реального мира и компактно отображать сложные логические взаимоотношения. Интуитивно под множеством понимается совокупность определенных, вполне различимых объектов, рассматриваемых как единое целое. Как правило, термин множество объясняется с помощью примеров, а потом указываются правила его использования в математических применениях. 3
1.ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА 1.1Определение множества Множество не имеет точного определения, и его следует отнести к аксиоматическим понятиям. Одним из наиболее устоявшихся определений множества является следующее: под множеством понимают любое собрание определённых и отличных друг от друга объектов, мыслимых как единое целое. Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) говорил так: "Множество есть многое, мыслимое нами как целое". В математике изучаются множества чисел, например, состоящие из всех: натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4,... простых чисел чётных целых чисел Универсальность этого понятия в том, что под него можно подвести любую совокупность предметов. Здесь годится все – марки, числа, люди, точки, звезды, тигры, векторы, функции и т.д. Даже сами множества могут объединяться во множества. Например, математики говорят про множество фигур на плоскости, про множество тел в пространстве, но каждую фигуру, каждое тело они представляют как множество точек. Следует подчеркнуть, что о множестве можно вести речь только тогда, когда элементы множества различимы между собой. Например, нельзя говорить о множестве капель в стакане воды, т.к. невозможно четко и ясно указать каждую отдельную каплю. Множества, все элементы которого являются числами, называются числовыми множествами. Множества, элементами которого являются другие множества, называются классом или семейством. Для ряда числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения: N – множество натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; R – множество действительных чисел; C – множество комплексных чисел. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Например, множество всех действительных корней уравнения есть пустое множество. Пустое множество в дальнейшем будем обозначать через . 4
Например, множество русских слов, начинающихся на букву Ъ. Таких слов нет, поэтому это пустое множество, численность его элементов равна нулю. Таким образом, когда мы говорим о множестве, то объединяем некоторые объекты в одно целое, а именно в множество, элементами которого они являются. 1.2Способы задания множества Существует два основных способа задания множества: перечисление и описание. Например, множество отличников группы можно задать, перечислив студентов, которые учатся на “отлично”. Например: {Иванов, Сидоров, Петров,…}. Для сокращения записи А={,, … } вводят множество индексов I={1,2,….n} и пишут А={ }. Если множество бесконечно, то его элементы перечислить нельзя. В таких случаях указывают характеристическое свойств о его элементов. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. А ={ х|P (x)}–множество А состоит из элементов х, удовлетворяющих свойству Р(х). Например, если А состоит из точек интервала 1 < х ≤ 2, то запишем: А={x| 1< х ≤ 2}. Числовые множества можно изобразить на координатной прямой. Например: а) A={x, x N, x 5} А - это множество, состоящее из первых пяти натуральных чисел, на координатной прямой отмечается пятью точками. В математике приходится постоянно сталкиваться с бесконечными множествами (нельзя сказать, сколько элементов в этих множествах, нельзя их полностью перебрать). Например: множества натуральных, целых, четных, нечетных чисел и многие другие. 5
1.3Подмножества При факторном рассмотрении множества могут выделяться его отдельные части. Это называется выделением подмножеств: Множество В называется подмножеством множества А, если все элементы В принадлежат и А : В А – В включено (или содержится) в А. Если хотя бы один элемент В не содержится в А, то B A – В не подмножество (не включено в) А. (см. рисунок 1.1.). Считают, что каждое множество А является подмножеством самого себя. A A. Любое непустое подмножество В множества А, не совпадающее со множеством А, называется собственным подмножеством. Для множества А пустое множество и само множество А называются несобственными подмножествами множества А. Множество, которое включает все рассматриваемые множества, называется универсальным. Обозначается U. Любое множество можно изобразить графически, нарисовав замкнутый контур и представив себе, что элементы этого множества изображены точками, находящимися внутри этого контура. Показывать на рисунке точки не обязательно. Универсальное множество изображается в виде прямоугольника. Такой способ изображения множеств носит название диаграмм Венна (или кругов Эйлера ). Чаще называется диаграммами Эйлера-Венна. 6
2.ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 2.1Объединение Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств. Объединение записывается как: A B = x : x А или х В или обоим множествам Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то объединение данных множеств изобразится заштрихованной областью (см. рисунок 2.1.). Пример: Пусть А= 1,3,6,8 и В= 2,4,6,8 , тогда Объединение А и В есть А В= 1,2,3,4,6,8 . При этом элементы 6 и 8 принадлежат обоим множествам. Аналогично определяется объединение более чем двух множеств. Объединение трех множеств А В С, каждый, из элементов которого принадлежит хотя бы одному из множеств А, В и С: А В С= х:х А или х В или х С Объединение множества положительных чётных чисел и множества положительных нечётных чисел является множество натуральных чисел. Если в выражении есть С и Е множеств, но нет скобок, то сначала выполняют С. 2.2Пересечение Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно. Пересечение записывается как: А В= х:х А х В . 7
Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пересечение данных множеств изобразится заштрихованной областью (см. рисунок 2.2) Пример : А= 1,2,3,4,5 ; В= 4,5,6,7 А В= 4,5 Пересечение более чем двух множеств определяется аналогичным образом. Пересечение трех множеств А, В и С есть множество элементов, которые принадлежат А, В и С: А В С= х:х А и х В и х С . Если множеств А и В не имеют общих элементов, то их пересечение пусто: А В= . Такие множества А и В называются непересекающимися. Пусть А – множество целых положительных чисел, а В – множество целых отрицательных чисел. Тогда А и В – непересекающиеся множества, так как не существует целых чисел, которые были бы одновременно и положительными, и отрицательными. 2.3Разность Разностью двух множеств А и В называется множество, элементами которого являются те и только те элементы множества А, которые не принадлежат В. При этом предполагается, что множество В не является частью множества А. Разность множеств А и В обозначается А/В и по определению А/В= х:х А и х В . Таким образом, при вычитании множества В из множества А из А удаляют пересечение А и В: А/В=А/(А В). 8
Пример: Пусть А – множество студентов данной группы института, В – множество девушек, обучающихся в этом институте, тогда А/В – множество всех юношей, обучающихся в данной группе этого института. Пусть а= 1,5,9,10 , В= 1.3,8,9 , тогда А/В= 5,10 и В/А= 3,8 . В случае, когда В – часть множества А, А/В называют дополнением к B в множестве А и обозначают. Пример: Пусть В – множество четных чисел, А – множество целых чисел, тогда – множество нечетных чисел. Часто все множества, с которыми имеют дело в том или ином рассуждении, являются подмножествами некоторого определенного фиксированного множества. Это множество называют универсальным и обозначают U. 9
Заключение Тема моего проекта: «Применение понятия множества». Мы рассмотрели основные понятия множества, а также способы его задания, подмножества и операции над множествами. Кроме того, в моей проектной работе даны такие определения, как: непересекающиеся множества, универсальное множество, собственное подмножество, характеристическое свойство, пустое множество и т.д. Теория множеств может быть активно использована на практике и в теории управления системами, в финансах и экономике для решения задач при условии неопределенности основных показателей. Например, такая техника, как фотоаппараты и некоторые стиральные машины, оборудована нечеткими контроллерами. Также множества как тип данных оказались очень удобными для программирования сложных жизненных ситуаций, так как с их помощью можно точно моделировать объекты реального мира и компактно отображать сложные логические взаимоотношения. Множества применяются в языке программирования Паскаль. Таким образом, мы убедились, что теория множеств имеет важное прикладное значение и может применяться в различных областях. 10
Список использованной литературы Аматова Г.М. Математика: в 2 кн. Кн. 2 : учеб. Пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / Г.М. Аматова, М.А. Аматов. – М. : Издательский центр «Академия», 2008. – 240 с. Истомина Н.Б. Математика: учимся решать комбинаторные задачи (1-3 кл.)/ – Ассоциация XXI век, 2014. К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с. Петерсон Л.Г. Математика. Учебники для 1–4 классов. – М., 2000. Стойлова Л.П. Математика: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб.заведений М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 424 с. Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. / Перевод с английского Ю. А. Гастева и И. Х. Шмаина под редакцией Ю. А. Шихановича. — М.: Просвещение, 1968. — 232 с. Столяр А.А., Лельчук М.П. Математика. – Минск, 1975. 11
Slide-Share