Презентация на тему: Элементы векторной алгебры

Элементы векторной алгебры.
Определение
Определения
Действия с направленными отрезками
Элементы векторной алгебры.
Элементы векторной алгебры.
Элементы векторной алгебры.
Элементы векторной алгебры.
Элементы векторной алгебры.
Операции сложения и умножения на вещественное число на множестве векторов обладают свойствами:
Элементы векторной алгебры.
Линейная зависимость векторов
Линейная зависимость векторов
Свойства линейно независимых векторов
Базис в пространстве векторов
Элементы векторной алгебры.
Координаты вектора :
Координаты вектора :
Операции с векторами в координатном представлении:
Условия линейной зависимости и независимости векторов в координатном представлении
Условия линейной зависимости и независимости векторов в координатном представлении
Замечание:
Декартова система координат.
Элементы векторной алгебры.
Основные формулы:
Основные формулы:
Скалярное произведение векторов.
Формула для вычисления угла между векторами:
Свойства скалярного произведения векторов
Векторное произведение векторов.
Элементы векторной алгебры.
Векторное произведение векторов.
Векторное произведение векторов:
Свойства векторного произведения векторов:
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов.
Смешанное произведение векторов.
Свойства смешанного произведения векторов.
Свойства смешанного произведения векторов:
1/39
Средняя оценка: 4.8/5 (всего оценок: 42)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (411 Кб)
1

Первый слайд презентации: Элементы векторной алгебры

Изображение слайда
2

Слайд 2: Определение

Совокупность всех направленных отрезков, для которых введены операции: - сравнения - сложения - умножения на вещественное число называется множеством векторов. Конкретный элемент этого множества будем называть вектором и обозначать символом с верхней стрелкой, например

Изображение слайда
3

Слайд 3: Определения

Отрезок прямой, концами которого служат лежащие на ней точки A и B, называется направленным отрезком, если указано, какая из этих двух точек является началом и какая - концом отрезка. Направленный отрезок, начало и конец которого совпадают, называется нулевым направленным отрезком. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Изображение слайда
4

Слайд 4: Действия с направленными отрезками

Определение: Два ненулевых и направленных отрезка и при называются равными, если они - лежат на параллельных прямых; - точки B и D лежат по одну сторону от прямой, проходящей через точки A и C ; - имеют равные длины, т.е.

Изображение слайда
5

Слайд 5

Сложение векторов по правилу треугольника +

Изображение слайда
6

Слайд 6

Обобщение правила треугольника на любое число слагаемых носит название правила замыкающей (правило многоугольника)

Изображение слайда
7

Слайд 7

Операция сложения направленных отрезков может быть выполнена по правилу параллелограмма

Изображение слайда
8

Слайд 8

Разностью - направленных отрезков называется направленный отрезок, удовлетворяющий равенству = +. Для того, чтобы построить разность векторов можно построить сумму векторов и (- ) Любой направленный отрезок при сложении с нулевым не изменяется.

Изображение слайда
9

Слайд 9

При умножении вектора на число λ получается вектор, длина которого равна

Изображение слайда
10

Слайд 10: Операции сложения и умножения на вещественное число на множестве векторов обладают свойствами:

1. Коммутативности 2. Ассоциативности 3. Дистрибутивности для любых векторов и любых вещественных чисел  и .

Изображение слайда
11

Слайд 11

Определение. Два вектора, параллельные одной и той же прямой, называются коллинеарными. Три вектора, параллельные одной и той же плоскости, называются компланарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору. Нулевой вектор считается компланарным любой паре векторов.

Изображение слайда
12

Слайд 12: Линейная зависимость векторов

Определение. Выражение вида , где некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов

Изображение слайда
13

Слайд 13: Линейная зависимость векторов

Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация Определение. Векторы называются линейно независимыми, если из условия следует тривиальность линейной комбинации такая, что

Изображение слайда
14

Слайд 14: Свойства линейно независимых векторов

1 . Один вектор линейно независим тогда и только тогда, когда он ненулевой. 2 . Два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны. 3 . Три вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они некомпланарны. Если среди векторов имеется подмножество линейно зависимых, то и все векторы линейно зависимы. Если среди векторов имеется хотя бы один нулевой, то векторы линейно зависимы.

Изображение слайда
15

Слайд 15: Базис в пространстве векторов

Определение: Базисом в пространстве векторов называется набор линейно независимых векторов

Изображение слайда
16

Слайд 16

Определение Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор, принадлежащий этой прямой. Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара линейно независимых векторов, принадлежащих этой плоскости. Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка линейно независимых векторов. Определение Базис называется ортогональным, если образующие его векторы попарно ортогональны (взаимно перпендикулярны). Определение Ортогональный базис называется ортонормированным, если образующие его векторы имеют единичную длину.

Изображение слайда
17

Слайд 17: Координаты вектора :

Пусть дан базис тогда любой вектор в пространстве может быть представлен, и притом единственным образом, в виде где - некоторые числа (коэффициенты разложения), которые называют координатами данного вектора в заданном базисе.

Изображение слайда
18

Слайд 18: Координаты вектора :

Для записи вектора в координатном представлении используются формы:

Изображение слайда
19

Слайд 19: Операции с векторами в координатном представлении:

Сравнение векторов : Два вектора и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты Сложение векторов : При сложении двух векторов их соответствующие координаты складываются. Умножение вектора на число : При умножении вектора на число, на это число умножаются все координаты вектора.

Изображение слайда
20

Слайд 20: Условия линейной зависимости и независимости векторов в координатном представлении

Для того чтобы два вектора на плоскости были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы их координаты в некотором базисе удовлетворяли условию

Изображение слайда
21

Слайд 21: Условия линейной зависимости и независимости векторов в координатном представлении

Для того чтобы три вектора в пространстве были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы их координаты в некотором базисе удовлетворяли условию

Изображение слайда
22

Слайд 22: Замечание:

Равенства и соответственно являются необходимыми и достаточными условиями коллинеарности пары векторов на плоскости и компланарности тройки векторов в пространстве.

Изображение слайда
23

Слайд 23: Декартова система координат

Определение. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат. 1-я ось – ось абсцисс 2-я ось – ось ординат 3-я ось – ось апликат Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат. Будем обозначать векторы базиса.

Изображение слайда
24

Слайд 24

Декартовы прямоугольные координаты в пространстве

Изображение слайда
25

Слайд 25: Основные формулы:

Если заданы точки А( x 1, y 1, z 1 ), B ( x 2, y 2, z 2 ), то координаты вектора определяются по формуле: = ( x 2 – x 1, y 2 – y 1, z 2 – z 1 ). Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х 1, y 1, z 1 ), B ( x 2, y 2, z 2 ), то:

Изображение слайда
26

Слайд 26: Основные формулы:

Если точка М(х, у, z ) делит отрезок АВ в соотношении  / , считая от А, то координаты этой точки определяются как: В частном случае координаты середины отрезка находятся как: x = ( x 1 + x 2 )/2; y = ( y 1 + y 2 )/2; z = ( z 1 + z 2 )/2.

Изображение слайда
27

Слайд 27: Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.  =    cos  Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то = x a x b + y a y b + z a z b ;

Изображение слайда
28

Слайд 28: Формула для вычисления угла между векторами:

Изображение слайда
29

Слайд 29: Свойства скалярного произведения векторов

1) =   2 ; 2)  = 0, если  или = 0 или = 0. 3)  =  ; 4)  ( + ) =  +  ; 5) (m )  =  ( m ) = m(  ); m=const

Изображение слайда
30

Слайд 30: Векторное произведение векторов

Три некомпланарных вектора взятые в указанном порядке образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден совершающимся против часовой стрелки, и левую - если по часовой.

Изображение слайда
31

Слайд 31

Правая тройка Левая тройка

Изображение слайда
32

Слайд 32: Векторное произведение векторов

Векторным произведением векторов и называется вектор удовлетворяющий следующим условиям: 1) где  - угол между векторами 2) вектор ортогонален векторам и 3) образуют правую тройку векторов.

Изображение слайда
33

Слайд 33: Векторное произведение векторов:

Обозначается : или Геометрическим смыслом длины векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах 

Изображение слайда
34

Слайд 34: Свойства векторного произведения векторов:

1) ; 2), если  или = 0 или = 0; 3) ( m )  =  ( m ) = m (  ); 4)  ( + ) =  +  ;

Изображение слайда
35

Слайд 35: Векторное произведение векторов

Если заданы векторы ( x a, y a, z a ) и ( x b, y b, z b ) = в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами, то

Изображение слайда
36

Слайд 36: Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением векторов, и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и Обозначается или (,, )

Изображение слайда
37

Слайд 37: Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах,,

Изображение слайда
38

Слайд 38: Свойства смешанного произведения векторов

1)Смешанное произведение равно нулю, если: а) хоть один из векторов равен нулю; б) два из векторов коллинеарны; в) векторы компланарны. 2) 3) 4) 5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами,, равен

Изображение слайда
39

Последний слайд презентации: Элементы векторной алгебры: Свойства смешанного произведения векторов:

6) Если, то

Изображение слайда