Презентация на тему: Дифференциальные уравнения 2-го порядка

Дифференциальные уравнения 2-го порядка
Основные понятия
Задача Коши для уравнения 2-го порядка
Теорема существования и единственности решения уравнения 2-го порядка
Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка
Пример
Пример
Линейные однородные уравнения
Свойства решений линейного однородного уравнения
Свойства решений линейного однородного уравнения
Линейно зависимые и линейно независимые функции
Линейно зависимые и линейно независимые функции
Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения 2-го порядка
Линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами
1/14
Средняя оценка: 4.4/5 (всего оценок: 67)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (193 Кб)
1

Первый слайд презентации: Дифференциальные уравнения 2-го порядка

Лекция 5

Изображение слайда
2

Слайд 2: Основные понятия

Уравнение 2-го порядка имеет вид Или Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция, которая при любых значениях параметров является решением этого уравнения.

Изображение слайда
3

Слайд 3: Задача Коши для уравнения 2-го порядка

Если уравнение 2-го порядка разрешить относительно второй производной, то для такого уравнения имеет место задача: найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: и Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения 2-гопорядка.

Изображение слайда
4

Слайд 4: Теорема существования и единственности решения уравнения 2-го порядка

Если в уравнении функция и ее частные производные по аргументам и непрерывны в некоторой области, содержащей точку, то существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям и.

Изображение слайда
5

Слайд 5: Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка

Простейшее уравнение 2-го порядка решают двукратным интегрированием. Уравнение, не содержащее явно у, решают с помощью подстановки, Уравнение, не содержащее х, решают заменой ,.

Изображение слайда
6

Слайд 6: Пример

Проинтегрируем Имеем И

Изображение слайда
7

Слайд 7: Пример

Уравнение не содержит явно х, поэтому решаем его подстановкой При х =0 Ответ

Изображение слайда
8

Слайд 8: Линейные однородные уравнения

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение. Если все коэффициенты этого уравнения постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами.

Изображение слайда
9

Слайд 9: Свойства решений линейного однородного уравнения

Теорема 1. Если у(х) является решением уравнения, то и С у ( х ), где С-константа, также является решением этого уравнения.

Изображение слайда
10

Слайд 10: Свойства решений линейного однородного уравнения

Теорема 2. Если и -решения уравнения, то и их сумма также является решением этого уравнения. Следствие. Если и -решения уравнения, то функция -также решение этого уравнения.

Изображение слайда
11

Слайд 11: Линейно зависимые и линейно независимые функции

Две функции и называются линейно зависимыми на некотором промежутке, если можно подобрать такие числа и,не равные нулю одновременно, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на этом промежутке, т. е.

Изображение слайда
12

Слайд 12: Линейно зависимые и линейно независимые функции

Если таких чисел подобрать нельзя, то функции и называются линейно независимыми на указанном промежутке. Функции и будут линейно зависимыми тогда и только тогда, когда их отношение постоянно, т. е.

Изображение слайда
13

Слайд 13: Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения 2-го порядка

Если и -линейно независимые частные решения ЛОУ 2-го порядка, то их линейная комбинация , где и -произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Изображение слайда
14

Последний слайд презентации: Дифференциальные уравнения 2-го порядка: Линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение называется характеристическим уравнением линейного уравнения. Оно получается из ЛОУ заменой соотстветствующей порядку производной степенью k.

Изображение слайда