Презентация на тему: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Примеры ДУ:
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 1. Показать, что данная функция является решением ДУ
Решение:
Дифференциальные уравнения I порядка
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 2. ДУ:
Геометрически:
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 3. Решить задачу Коши:
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
1. ДУ I порядка с разделёнными переменными.
Пример 4. Решить ДУ:
Пример 5. Решить ДУ:
2. ДУ I порядка с разделяющимися переменными.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Замечание:
Пример 6. Найти общее и частное решение ДУ:
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 7. Найти общее решение ДУ:
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 8. Найти общее решение ДУ:
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 9. Решить задачу Коши:
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 10. Решить задачу Коши:
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1/37
Средняя оценка: 5.0/5 (всего оценок: 46)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (419 Кб)
1

Первый слайд презентации: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Изображение слайда
2

Слайд 2

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, содержащее производные от искомой функции или её дифференциалы. или

Изображение слайда
3

Слайд 3: Примеры ДУ:

Изображение слайда
4

Слайд 4

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком ДУ. Решением ДУ называется такая функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество.

Изображение слайда
5

Слайд 5: Пример 1. Показать, что данная функция является решением ДУ

Изображение слайда
6

Слайд 6: Решение:

Т.о. функции вида являются решениями данного ДУ при любом выборе постоянных С 1 и С 2 : Подставим:

Изображение слайда
7

Слайд 7: Дифференциальные уравнения I порядка

Изображение слайда
8

Слайд 8

Общим решением ДУ I порядка называется функция, которая зависит от одного произвольного постоянного С. или или (неявный вид) ДУ I порядка имеет вид

Изображение слайда
9

Слайд 9

Частным решением ДУ I порядка называется любая функция полученная из общего решения при конкретном значении постоянной С=С 0. или (неявный вид)

Изображение слайда
10

Слайд 10: Пример 2. ДУ:

-общее решение частные решения

Изображение слайда
11

Слайд 11: Геометрически:

Общее решение ДУ есть семейство интегральных кривых на плоскости Оху; Частное решение ДУ -одна кривая этого семейства, проходящая через точку -общее решение х у -частное решение ( х 0, у 0 )

Изображение слайда
12

Слайд 12

Задача отыскания конкретного частного решения данного ДУ по начальным данным называется задачей Коши ( Cauchy). или Условие, что при х = х 0 функция у должна быть равна заданному числу у 0 называется начальным условием.

Изображение слайда
13

Слайд 13: Пример 3. Решить задачу Коши:

-общее решение Решение: Подставим в общее решение начальные условия: -частное решение х у

Изображение слайда
14

Слайд 14: Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Если в уравнении функция f ( x,y ) и её частная производная непрерывны в некоторой области D, содержащей точку ( х 0 ; у 0 ), то существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию

Изображение слайда
15

Слайд 15: 1. ДУ I порядка с разделёнными переменными

Если каждая часть ДУ представляет собой произведение некоторого выражения, зависящего от одной переменной, на дифференциал этой переменной, то говорят, что переменные в этом уравнении разделены. В этом случае уравнение достаточно проинтегрировать:

Изображение слайда
16

Слайд 16: Пример 4. Решить ДУ:

Решение: С общее решение: или Геометрически: получили семейство концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом С. С х у 0

Изображение слайда
17

Слайд 17: Пример 5. Решить ДУ:

Решение: С общее решение: или х у 0 С=1 С=1 С=3 С=3 С=-2 С=-2

Изображение слайда
18

Слайд 18: 2. ДУ I порядка с разделяющимися переменными

Уравнения, в которых переменные разделяются, называются ДУ с разделяющимися переменными. где некоторые функции.

Изображение слайда
19

Слайд 19

интегрируем:

Изображение слайда
20

Слайд 20: Замечание:

При проведении почленного деления ДУ на могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение и установить те решения ДУ, которые не могут быть получены из общего решения- особые решения.

Изображение слайда
21

Слайд 21: Пример 6. Найти общее и частное решение ДУ:

Решение: ⇒ 1) Найдём общее решение ДУ:

Изображение слайда
22

Слайд 22

Итак, общее решение ДУ: 2) Найдём частное решение ДУ, если Подставим эти начальные условия в общее решение ДУ и найдем С: - частное решение ДУ. ⇒ Ответ: общее решение частное решение

Изображение слайда
23

Слайд 23

Геометрически: х у общее решение частное решение у = 2х (5;10)

Изображение слайда
24

Слайд 24: Пример 7. Найти общее решение ДУ:

Решение:

Изображение слайда
25

Слайд 25

или ⇒ Ответ. Общее решение:

Изображение слайда
26

Слайд 26

Нахождение особого решения: Здесь уравнение имеет вид ху =0 Его решения х =0, у =0 являются решениями данного ДУ, но не получаются из общего решения ни при каких значениях произвольной постоянной. Значит, решения х = 0, у = 0 являются особыми.

Изображение слайда
27

Слайд 27: Пример 8. Найти общее решение ДУ:

Решение:

Изображение слайда
28

Слайд 28

или ⇒

Изображение слайда
29

Слайд 29

Геометрически: общее решение С=5 С=3 С=1 С=-2 С=-5 х у

Изображение слайда
30

Слайд 30: Пример 9. Решить задачу Коши:

Решение: 1) Найдём общее решение ДУ:

Изображение слайда
31

Слайд 31

или Итак, общее решение ДУ: С

Изображение слайда
32

Слайд 32

2) Найдём частное решение ДУ, если Подставим эти начальные условия в общее решение и найдем С: частное решение ДУ: или

Изображение слайда
33

Слайд 33

Геометрически: общее решение частное решение (0;1) С=5 С=-3 С=-6 С=0 х у

Изображение слайда
34

Слайд 34: Пример 10. Решить задачу Коши:

Решение: 1) Найдём общее решение ДУ:

Изображение слайда
35

Слайд 35

Итак, общее решение ДУ: ⇒

Изображение слайда
36

Слайд 36

2) Найдём частное решение ДУ, если Подставим эти начальные условия в общее решение и найдем С: Тогда, частное решение ДУ:

Изображение слайда
37

Последний слайд презентации: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Геометрически: общее решение частное решение С=1 С=-5 С=9 С=-1 х у (0;4)

Изображение слайда