Презентация на тему: Делимость натуральных чисел

Реклама. Продолжение ниже
Делимость натуральных чисел
Замечание:
Делимость натуральных чисел
Определение отношения делимости натуральных чисел
Делимость натуральных чисел
Делимость натуральных чисел
Делимость натуральных чисел
Уточним понятие «отношение делимости»
Делимость натуральных чисел
Следствие:
Сопутствующие понятия Простые и составные числа
Например:
Делимость натуральных чисел
Делимость натуральных чисел
Делимость натуральных чисел
Классификация натуральных чисел
Свойства отношения делимости
Теорема 1.
Доказательство
Теорема 2
Доказательство: ( доказательство осуществляется методом от противного)
Теорема 3
Доказательство
Признак делимости суммы Теорема 4
Доказательство
Делимость натуральных чисел
Замечание
Признак делимости разности Теорема 5
Обобщение теоремы 5
Краткое условие теоремы
Доказательство
Например:
Признак делимости произведения Теорема 6
Доказательство
Следствие:
Еще три теоремы о делимости
Доказательство
Делимость натуральных чисел
Делимость натуральных чисел
Делимость натуральных чисел
Доказательство
Делимость натуральных чисел
1/42
Средняя оценка: 4.5/5 (всего оценок: 92)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (250 Кб)
Реклама. Продолжение ниже
1

Первый слайд презентации: Делимость натуральных чисел

Лекция 5 2 курс

Изображение слайда
1/1
2

Слайд 2: Замечание:

Вопрос о существовании разности на множестве натуральных чисел решается очень просто: достаточно, чтобы уменьшаемое было больше вычитаемого. a-b существует, если a>b, где

Изображение слайда
1/1
3

Слайд 3

Для операции деления такого простого признака нет. Поэтому и возникла в математике теория делимости натуральных чисел.

Изображение слайда
1/1
4

Слайд 4: Определение отношения делимости натуральных чисел

Пусть даны натуральные числа a и b. Говорят, что число a делится на b, если существует такое натуральное что

Изображение слайда
1/1
5

Слайд 5

b называют делителем числа a, число a – кратным b Обозначают Читают : a кратно b

Изображение слайда
1/1
6

Слайд 6

Что общего и что различного в понятиях? 1. «делитель данного числа» 2. « делитель»

Изображение слайда
1/1
7

Слайд 7

24 : 5 - число 5 есть делитель. Компонент действия деления. 24 : 6 число 6 – не только делитель (компонент действия деления), но и делитель числа 24, так как 24=6 · 4. Число b называется делителем числа a тогда, когда число a есть кратное b.

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже
8

Слайд 8: Уточним понятие «отношение делимости»

1. Единица (число 1) является делителем любого натурального числа, так как a=1 ·a. 2. Теорема №1. Делитель b данного числа a не превышает этого числа. Если

Изображение слайда
1/1
9

Слайд 9

Доказательство: Так как , то существует такое , что a = b ·g Значит, a - b =b ·g – b = b ·(g -1) Так как , то g ≥ 1 Тогда, b ·(g-1) ≥ 0 Следовательно, b ≤ a

Изображение слайда
1/1
10

Слайд 10: Следствие:

Множество делителей данного числа конечно. Например: Делители числа 36 образуют конечное множество

Изображение слайда
1/1
11

Слайд 11: Сопутствующие понятия Простые и составные числа

Определение: Простым числом называется такое натуральное число, большее 1, которое имеет только два делителя – единицу и само это число.

Изображение слайда
1/1
12

Слайд 12: Например:

Число 7 – простое. Число 2 – простое. (единственное простое четное число). Числа 3,11,19, 23, 117... являются простыми, так как эти числа имеют по два делителя. Число 1 ……?

Изображение слайда
1/1
13

Слайд 13

Определение: Составным числом называется натуральное число, которое имеет более двух делителей. Например: 4,6,12,121, 45, 225 – составные числа. Число 1- составное?

Изображение слайда
1/1
14

Слайд 14

Чисел кратных данному числу, бесконечное множество. Например: Числа кратные 6 образуют множество:

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже
15

Слайд 15

Общий вид чисел, кратных 6: x=6 ·n, Общий вид чисел, кратных 5: x=5·n, Общий вид чисел, кратных k : x=k·n,

Изображение слайда
1/1
16

Слайд 16: Классификация натуральных чисел

Основание классификации - признак: быть простым числом

Изображение слайда
1/1
17

Слайд 17: Свойства отношения делимости

1. Отношение делимости рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. 2. Отношение делимости есть отношение нестрогого порядка

Изображение слайда
1/1
18

Слайд 18: Теорема 1

Отношение делимости рефлексивно. (любое натуральное число делится само на себя). Если отношение делимости обозначить –R, а элемент –n, то свойство рефлек c ивности имеет вид: n R n

Изображение слайда
1/1
19

Слайд 19: Доказательство

Для любого натурального a справедливо равенство a=a ·1. по определению делимости Что и требовалось доказать.

Изображение слайда
1/1
20

Слайд 20: Теорема 2

Отношение делимости антисиммет - рично ( если a кратно b, то b не кратно a ) Если отношение делимости обозначить –R, а элементы отношения – a и b, то свойство антисимметричности имеет вид: если a R b, то b R a

Изображение слайда
1/1
21

Слайд 21: Доказательство: ( доказательство осуществляется методом от противного)

Предположим обратное. Пусть но тогда a ≤ b. По условию Следовательно, a ≥ b Неравенства a ≤ b и a ≥ b справедливы, если a=b. Противоречие. Значит наше предположение не верно.

Изображение слайда
1/1
22

Слайд 22: Теорема 3

Отношение делимости транзитивно. Если отношение делимости обозначить –R, а элементы отношения – a,b, c то свойство транзитивности имеет вид: если a R b и b R c, то a R c. Если и , то

Изображение слайда
1/1
23

Слайд 23: Доказательство

Если , то такое, что a = b · g Если , то такое, что Тогда имеем: a = b ·g = (c·p)·g = c·(p·g) Число p · g – натуральное. Значит : ассоциативный

Изображение слайда
1/1
24

Слайд 24: Признак делимости суммы Теорема 4

Если каждое из натуральных чисел делится на натуральное число b, то делится на это число.

Изображение слайда
1/1
25

Слайд 25: Доказательство

Если то Если то - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Если то

Изображение слайда
1/1
26

Слайд 26

Преобразуем сумму чисел Так как сумма натуральных чисел есть натуральное число, то ее можно заменить натуральным числом g. Следовательно, А это значит, что сумма делится на b. дистрибутивный

Изображение слайда
1/1
27

Слайд 27: Замечание

Обратная теорема: если сумма натуральных чисел кратна натуральному числу c, то каждое слагаемое кратно этому числу c. Обратная теорема не верна. 25=12+13 Теорема о делимости суммы есть необходимое условие, но не достаточное

Изображение слайда
1/1
28

Слайд 28: Признак делимости разности Теорема 5

Если уменьшаемое a и вычитаемое b делятся на число c, то и разность (a-b), где a>b, делится на c. Доказать самостоятельно !

Изображение слайда
1/1
29

Слайд 29: Обобщение теоремы 5

Теорема: Разность двух натуральных чисел a и b делится на натуральное число с, тогда и только тогда, когда a при делении на c и b при делении на c дают одинаковые остатки.

Изображение слайда
1/1
30

Слайд 30: Краткое условие теоремы

Дано: a>b и Доказать, что

Изображение слайда
1/1
31

Слайд 31: Доказательство

Рассмотрим разность чисел a и b. Следовательно, ( a-b) кратно с

Изображение слайда
1/1
32

Слайд 32: Например:

Задание : Не выполняя вычислений, определите делится ли разность чисел 247 и162 на 5. 247 при делении на 5 дает остаток 2 и 162 при делении на 5 дает остаток 2. Значит разность 247-162 кратна 5. Действительно 247-162=85, 85:5=17

Изображение слайда
1/1
33

Слайд 33: Признак делимости произведения Теорема 6

Если число a делится на b, то произведение вида a ·x, где x – натуральное число, делится на b.

Изображение слайда
1/1
34

Слайд 34: Доказательство

Так как , то Умножим обе части этого равенства на натуральное число x

Изображение слайда
1/1
35

Слайд 35: Следствие:

Если один из множителей произведения делится на натуральное число, то и все произведение делится на это натуральное число. Например: 24 · 978:12=(24:12) · 978=2 · 978= =2 · (900+70+8)=1800+140+16=1956

Изображение слайда
1/1
36

Слайд 36: Еще три теоремы о делимости

Теорема 1 Если в сумме одно слагаемое не делится на b, а все остальные слагаемые суммы делятся на b, то и вся сумма на b не делится.

Изображение слайда
1/1
37

Слайд 37: Доказательство

Пусть И известно, что Доказательство проведем методом «от противного»

Изображение слайда
1/1
38

Слайд 38

Предположим противное. Пусть Преобразуем сумму s Имеем: Применим теорему о делимости разности. Следовательно: Противоречие Значит наше предположение не верно. Что и требовалось доказать.

Изображение слайда
1/1
39

Слайд 39

Теорема 2. (задача) Если в произведении a ·b множитель a делится на натуральное число m, а множитель b делится на натуральное число n, то произведение a·b делится на m·n. Доказать самостоятельно!

Изображение слайда
1/1
40

Слайд 40

Теорема 3. Если произведение a ·c делится на произведение b·c, причем c -натуральное число, то a делится на b.

Изображение слайда
1/1
41

Слайд 41: Доказательство

Так как Значит ассоциативный

Изображение слайда
1/1
42

Последний слайд презентации: Делимость натуральных чисел

Спасибо за внимание!

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже