Презентация на тему: АЛГЕБРА (3-й семестр)

АЛГЕБРА (3-й семестр)
МНОГОЧЛЕНЫ НАД ЧИСЛОВЫМИ ПОЛЯМИ
АЛГЕБРА (3-й семестр)
§ 1. Многочлены над полем комплексных чисел
1. Основная теорема алгебры
1. Основная теорема алгебры
1. Основная теорема алгебры
1. Основная теорема алгебры
1. Основная теорема алгебры
1. Основная теорема алгебры
1. Основная теорема алгебры
1. Основная теорема алгебры
1. Основная теорема алгебры
1. Основная теорема алгебры
2. Двучленные и квадратные уравнения
2. Двучленные и квадратные уравнения
2. Двучленные и квадратные уравнения
2. Двучленные и квадратные уравнения
3. Кубические уравнения
3. Кубические уравнения
3. Кубические уравнения
3. Кубические уравнения
3. Кубические уравнения
3. Кубические уравнения
3. Кубические уравнения
3. Кубические уравнения
3. Кубические уравнения
АЛГЕБРА (3-й семестр)
1/28
Средняя оценка: 4.9/5 (всего оценок: 41)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (303 Кб)
1

Первый слайд презентации: АЛГЕБРА (3-й семестр)

2010-11 учебный год Доцент Мартынова Т. А.

Изображение слайда
2

Слайд 2: МНОГОЧЛЕНЫ НАД ЧИСЛОВЫМИ ПОЛЯМИ

ЛЕКЦИЯ 8 Доцент Мартынова Т.А.

Изображение слайда
3

Слайд 3

ГЛАВА II. МНОГОЧЛЕНЫ НАД ЧИСЛОВЫМИ ПОЛЯМИ В приложениях часто имеют дело с многочленами, имеющими рациональные, действительные или комплексные коэффициенты. Разумеется, все результаты предыдущей главы будут справедливы и для таких многочленов. Здесь будут рассматриваться их особые свойства.

Изображение слайда
4

Слайд 4: 1. Многочлены над полем комплексных чисел

Основными задачами этого раздела являются рассмотрение вопросов: Основная теорема алгебры Неприводимость многочленов над полем комплексных чисел (т.е. в кольце C [ x ] ) Число корней произвольного многочлена с числовыми коэффициентами Теорема Виета Формулы для нахождения корней уравнений 2, 3 и 4 степени

Изображение слайда
5

Слайд 5: 1. Основная теорема алгебры

Уравнение x 2 +1=0 разрешимо лишь в поле C. Уравнение a n x n + a n-1 x n -1 +…+ a 1 x + a 0 =0 (*) с комплексными коэффициентами тоже. Основная задача алгебры: нахождение формул для выражения корней уравнения (*) при различных значениях n через коэффициенты с помощью обычных арифметических операций. Основная задача алгебры (1608г.): нахождение хотя бы "бесформульного" доказательства существования комплексного корня для произвольного алгебраического уравнения вида (*) с комплексными коэффициентами.

Изображение слайда
6

Слайд 6: 1. Основная теорема алгебры

Определение 1. Поле P называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен положительной степени из кольца P [ x ] имеет, по крайней мере, один корень в поле P. Определение 2. Полем разложения многочлена f ( x ) из кольца P [ x ] называется такое расширение F поля Р, что f ( x ) в кольце F [ х ] разлагается на линейные множители. Замечание 1 : определения 1-2 даются для произвольного поля P. Замечание 2: F – расширение поля P, если P – подполе поля F.

Изображение слайда
7

Слайд 7: 1. Основная теорема алгебры

ОТА показывает, что поле С является алгебраически замкнутым. ОТА была впервые высказана в 1608 году немецким математиком П.Роте. Первое аналитическое (не вполне строгое) доказательство ОТА дал в 1746 году Даламбер. В 1815 году Гаусс привёл окончательное алгебраическое доказательство ОТА. Основная теорема алгебры ( ОТА): Любой многочлен положительной степени с комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один комплексный корень в поле С. ( Без доказательства)

Изображение слайда
8

Слайд 8: 1. Основная теорема алгебры

Следствие 1. В кольце C [ x ] неприводимы только многочлены первой степени. ◘ Пусть p ( z ) – любой неприводимый в C [ x ] многочлен. Так как его степень n ≥1, по ОТА он имеет корень z 0 в поле С. Тогда по характеристическому свойству корней: p ( z ) = ( z-z 0 ) q ( z ). Но т.к. p ( z ) – неприводим над С, то q ( z ) обязан иметь нулевую степень и, следовательно, степень p ( z ) равна единице. Если степень p ( z ) больше единицы, то он приводим, так как p ( z ) = ( z-z 0 ) q ( z ), и deg q ( z ) 1. ◙

Изображение слайда
9

Слайд 9: 1. Основная теорема алгебры

Следствие 2. Многочлен f ( z ) степени n ≥1 с числовыми коэффициентами имеет n комплексных корней, если считать каждый из них столько раз, какова его кратность. ◘ В силу следствия 1 неприводимые над С многочлены имеют первую степень и поэтому каноническое разложение f ( z ) на неприводимые множители можно записать в виде: где k 1 +k 2 +…+ k m =n, а z 1, z 2, …, z m - корни f ( z ) кратности k 1, k 2, …, k m, соотвественно. ◙ Вывод: поле С является полем разложения для любого многочлена с числовыми коэффициентами. Следствие 1. В кольце C [ x ] неприводимы только многочлены первой степени.

Изображение слайда
10

Слайд 10: 1. Основная теорема алгебры

Следствие 3 (Теорема Виета). Если z 1, z 2,…, z n суть корни нормированного многочлена f ( z )= z n + c 1 z n -1 +…+ c n -1 z + c n из кольца С [ z ], то (1) ◘ Применим индукцию по n. Б.И. При n =1 имеем f ( z )= z + c 1. Тогда z 1 = - c 1 – единственный корень f ( z ) и теорема Виета справедлива.

Изображение слайда
11

Слайд 11: 1. Основная теорема алгебры

Ш.И. Пусть Т.В. верна для многочленов степени n. Докажем её для многочленов степени n +1. Пусть g ( z )= z n +1 + b 1 z n +…+ b n z + b n +1 и z 1, z 2,…, z n, z n +1 – его корни. Тогда g ( z )=( z - z n +1 ) ·( z n + c 1 z n -1 +…+ c n -1 z + c n )= = z n +1 +( c 1 - z n +1 ) z n +( c 2 - c 1 z n +1 ) z n -1 +…+(- c n z n +1 ). Учитывая, что для корней z 1, z 2,…, z n многочлена z n + c 1 z n -1 +…+ c n -1 z + c n по предположению индукции справедливы формулы (1), имеем: (1)

Изображение слайда
12

Слайд 12: 1. Основная теорема алгебры

Пусть g ( z )= z n +1 + b 1 z n +…+ b n z + b n +1 Тогда g ( z )=( z - z n +1 ) ·( z n + c 1 z n -1 +…+ c n -1 z + c n )= = z n +1 +( c 1 - z n +1 ) z n +( c 2 - c 1 z n +1 ) z n -1 +…+(- c n z n +1 ). Учитывая, что для корней z 1, z 2,…, z n многочлена по предположению индукции справедливы формулы (1), имеем: Таким образом, формулы (1) имеют место и для любого многочлена g ( x ) степени n +1. Вывод. Теорема Виета справедлива для многочленов любой степени. ◙ (1)

Изображение слайда
13

Слайд 13: 1. Основная теорема алгебры

Пример 1. Составить многочлен наименьшей степени с корнями 2+ i, 2–i и –4. ◘ Искомый многочлен имеет вид f ( z )= z 3 + a 1 z 2 + a 2 z + a 3. По формулам (1) имеем: – a 1 =(2+i)+(2 – i) – 4=0 a 2 =(2+i)(2 – i) – 4(2+i) – 4(2 – i)=11 – a 3 =(2+i)(2 – i)( – 4)= – 20 Таким образом, f ( z )= z 3 – 11 z +20. ◙ (1)

Изображение слайда
14

Слайд 14: 1. Основная теорема алгебры

Замечание 1. Требование нормированности многочлена в теореме Виета не ограничивает возможностей её применения к любым многочленам. В самом деле, если h ( z )= a 0 z n + a 1 z n -1 +…+ a n -1 z + a n и a 0 ≠0, то поделив многочлен h ( z ) на число a 0, получим многочлен с теми же корнями, что и многочлен h ( z ) ; к многочлену f ( x ) можно применить формулы Виета (1).

Изображение слайда
15

Слайд 15: 2. Двучленные и квадратные уравнения

Определение. Двучленным уравнением называется уравнение вида az n = b (1), где a, b  C. Если, а = 0 и b = 0, то любое значение х удовлетворяет этому уравнению. В случае, когда a = 0, b ≠ 0 уравнение (1) не имеет решений. Пусть а ≠ 0. Тогда уравнение (1) равносильно уравнению: z n = b / a (1 ´ ) Таким образом, задача решения уравнения (1) свелась к нахождению всевозможных значений корня n -степени из числа b/a. Напомним, что все такие корни можно получать умножением одного из них на все корни n -степени из 1. Пример 1. Решить уравнение z 4 = 64. ◘ Имеем z 1 = 4, z 2 = – 4, z 3 = 4i, z 4 = – 4i. ◙

Изображение слайда
16

Слайд 16: 2. Двучленные и квадратные уравнения

Пусть дано квадратное уравнение : az 2 + bz + c = 0, где a, b, c  C ( а ≠ 0) (2) Поделив обе части этого уравнения на а, мы получим уравнение z 2 +( b/a ) z +( c/a )=0, которое равносильно уравнению (2). Это уравнение можно переписать в виде: Отсюда: Таким образом:

Изображение слайда
17

Слайд 17: 2. Двучленные и квадратные уравнения

Дано уравнение: az 2 + bz + c = 0, где a, b, c  C ( а ≠ 0) (2) Обычно выражение для z записывают в виде: Таким образом, формула для решения квадратного уравнения (2) в комплексной области имеет такой же вид, как и в случае действительных чисел. Существенным отличием является то, что уравнение (2) имеет корни в С и при отрицательном дискриминанте b 2 -4ac. ( 3 )

Изображение слайда
18

Слайд 18: 2. Двучленные и квадратные уравнения

Если квадратное уравнение имеет вид: z 2 + pz + q =0, (4) то формула (3) примет вид Пример 2. Решить уравнение z 2 – 3 z + (3 – i)=0 ◘ Применяя формулу (5) получим: т.е. z 1 = 2 + i и z 2 = 1 – i. ◙ ( 5 ) ( 3 )

Изображение слайда
19

Слайд 19: 3. Кубические уравнения

Пусть дано кубическое уравнение : z 3 + az 2 + bz + c = 0 ( 6) с любыми комплексными коэффициентами a, b и c. Заменим в уравнении ( 6 ) переменную z новой переменной x, связанной с z равенством: z = x – a/3, (7) Получим уравнение относительно x, не содержащее квадрата этой переменной: x 3 + px + q = 0 (8) Найдя корни уравнения (8), мы получим и корни уравнения (6). Остается, научиться решать уравнение вида (8) с любыми комплексными коэффициентами p и q.

Изображение слайда
20

Слайд 20: 3. Кубические уравнения

x 3 + px + q = 0 (8) Пусть x 0 – любой корень уравнения (8). Введём вспомогательную переменную y и рассмотрим уравнение: y 2 – x 0 y – p / 3 = 0 Его коэффициенты – комплексные числа, и поэтому оно обладает двумя комплексными корнями u и v, причём (по формулам Виета): u + v = x 0 (9) u v = – p / 3 (10) Подставляя в (8) выражение (9) корня x 0, получим ( u + v ) 3 + p ( u + v )+ q =0 или u 3 + v 3 +(3 uv + p )( u + v )+ q =0. Однако из (10) следует 3 uv + p=0 и поэтому получаем: u 3 + v 3 = – q (11) f ( z )= z n + c 1 z n -1 +…+ c n -1 z + c n

Изображение слайда
21

Слайд 21: 3. Кубические уравнения

u + v = x 0 (9), u v = – p / 3 (10), u 3 + v 3 = – q (11) С другой стороны, из (10) вытекает: u 3 v 3 = – p 3 / 27 ( 12) Равенства (11) и (12) показывают, что числа u 3 и v 3 служат корнями квадратного уравнения: w 2 + qw – p 3 / 27 = 0 (13) с комплексными коэффициентами. Решая уравнение (13), получим: Отсюда: ( 14 )

Изображение слайда
22

Слайд 22: 3. Кубические уравнения

x 3 + px + q = 0 (8) u + v = x 0 (9) u v = – p / 3 (10) Получаем формулу Кардано, выражающую корни уравнения (8) через его коэффициенты при помощи квадратных и кубических радикалов: Т. к. кубический радикал имеет в поле С три значения, то формулы (14) дают три значения для u и три для v. Нельзя комбинировать любое значение u с любым значением v : для данного значения u следует брать лишь то из трех значений v, которое удовлетворяет условию (10). ( 15 ) ( 14 )

Изображение слайда
23

Слайд 23: 3. Кубические уравнения

x 3 + px + q = 0 (8) u + v = x 0 (9) u v = – p / 3 (10) Пусть u 1 будет одно из трёх значений радикала u. Тогда два других u 2 и u 3 можно получить умножением соответственно на кубические корни из единицы: Т.е. u 2 = u 1 e 1 и u 3 = u 1 e 2. Обозначим через v 1 то значение радикала v, которое соответствует значению u 1 радикала u по (10). Два других значения v, соответствующие u 2 и u 3 будут v 2 = v 1 e 2, v 3 = v 1 e 1. В самом деле, ввиду e 1 e 2 =1 имеем: u 2 v 2 = u 1 e 1 v 1 e 2 = u 1 v 1 e 1 e 2 = u 1 v 1 =– p /3, аналогично u 3 v 3 = – p /3.

Изображение слайда
24

Слайд 24: 3. Кубические уравнения

x 3 + px + q = 0 (8) u + v = x 0 (9) u v = – p / 3 (10) u 2 v 2 = – p /3, u 2 v 2 = – p /3, u 3 v 3 = – p /3. Таким образом, все три корня уравнения (3) могут быть записаны следующим образом: x 1 = u 1 + v 1 x 2 = u 2 + v 2 = u 1 e 1 + v 1 e 2 x 3 = u 3 + v 3 = u 1 e 2 + v 1 e 1 Замечание. В случае, когда числа u 1 и v 1 являются действительными, подставляя в формулу (16) в выражения для x 2 и x 3 значения e 1 и e 2, получим явные формулы для нахождения x 2 и x 3 по известным u 1 и v 1 : ( 1 6) ( 1 6 ´ )

Изображение слайда
25

Слайд 25: 3. Кубические уравнения

z = x – a/3 (7) x 3 + px + q = 0 (8) Пример 3. Решить уравнение z 3 + 3 z 2 – 3 z – 14 = 0. ◘ Подстановка (7) z = x – 1 приводит к виду (8): x 3 – 6x – 9 = 0 (здесь p = – 6, q = – 9 ). По формулам (14): По формуле (1 6´ ) находим корни уравнения x 3 – 6x – 9=0 : Отсюда (т.к. z = x – 1 ): ◙ ( 1 6 ´ ) ( 14 )

Изображение слайда
26

Слайд 26: 3. Кубические уравнения

Пример 4. Решить уравнение x 3 – 12x + 16 = 0. ◘ Здесь p = – 12, q = 16. По формулам (14) находим: По формулам (1 6´ ) находим корни уравнения: x 1 = – 4, x 2 = x 3 = 2 ◙ ( 1 6 ´ ) ( 14 )

Изображение слайда
27

Слайд 27: 3. Кубические уравнения

Пример 5. Решить: z 3 – 9 z 2 + 21 z – 5 = 0. ◘ Подставив в него z = x +3, получим: x 3 – 6 x+ 4=0, т.е. p = –6, q = 4. По формулам (14) и (10) находим: По формулам (1 6´) находим корни: Отсюда: ◙ ( 1 6 ´ ) ( 14 ) z = x – a/3 (7) u v = – p / 3 (10)

Изображение слайда
28

Последний слайд презентации: АЛГЕБРА (3-й семестр)

Изображение слайда