Презентация на тему: АЛГЕБРА (3-й семестр)

АЛГЕБРА (3-й семестр)
МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
4. Наименьшее общее кратное многочленов
4. Наименьшее общее кратное многочленов
4. Наименьшее общее кратное многочленов
4. Наименьшее общее кратное многочленов
4. Наименьшее общее кратное многочленов
4. Наименьшее общее кратное многочленов
4. Наименьшее общее кратное многочленов
§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены
§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены
§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены
§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены
§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены
Свойства неприводимых многочленов
§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены
§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены
§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены
§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены
§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены
§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены
§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены
§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены
§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены
§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены
§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены
§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены
§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены
§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены
§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены
§ 4. Производная многочлена и формула Тейлора
1. Производная многочлена и ее свойства.
1. Производная многочлена и ее свойства.
1. Производная многочлена и ее свойства.
1. Производная многочлена и ее свойства.
1. Производная многочлена и ее свойства.
1. Производная многочлена и ее свойства.
2. Формула Тейлора.
2. Формула Тейлора.
2. Формула Тейлора.
2. Формула Тейлора.
2. Формула Тейлора.
§5. Отделение кратных множителей.
1. Кратные неприводимые множители.
1. Кратные неприводимые множители.
1. Кратные неприводимые множители.
2. Отделение кратных множителей.
2. Отделение кратных множителей.
2. Отделение кратных множителей.
2. Отделение кратных множителей.
АЛГЕБРА (3-й семестр)
1/51
Средняя оценка: 4.3/5 (всего оценок: 97)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (477 Кб)
1

Первый слайд презентации: АЛГЕБРА (3-й семестр)

2008-09 учебный год Доцент Мартынова Т. А.

Изображение слайда
2

Слайд 2: МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ЛЕКЦИЯ 5 Доцент Мартынова Т.А.

Изображение слайда
3

Слайд 3: 4. Наименьшее общее кратное многочленов

Понятно, что, в случае существования, НОК определяется с точностью до множителя нулевой степени (любые два НОК должны делиться друг на друга); нормированное НОК определяется однозначно. Т е о р е м а 5 (о НОК двух многочленов). Любое общее кратное многочленов f ( x ) и h ( x ) имеет вид ,, где t(x)  P [ x ]. (8) При этом .. ( 9 )

Изображение слайда
4

Слайд 4: 4. Наименьшее общее кратное многочленов

◘ Пусть d ( x )=НОД( f ( x ), h ( x )), и. Используя эти обозначения, перепишем равенство (8) в виде . Отсюда видно, что любой многочлен вида (8) является общим кратным многочленов f ( x ) и h ( x ).

Изображение слайда
5

Слайд 5: 4. Наименьшее общее кратное многочленов

Пусть теперь k ( x ) – общее кратное многочленов f ( x ) и h ( x ). Покажем, что оно имеет вид (8). По условию k ( x ) делится на f ( x ) и поэтому k ( x )= f ( x ) q ( x ). С другой стороны, поскольку, то, и, следовательно,. Так как по следствию 6 многочлены f 1 ( x ) и h 1 ( x ) взаимно просты, отсюда и из свойства 2° взаимно простых многочленов получаем, что, т.е. q ( x )= h 1 ( x ) t ( x ). Но тогда имеем . Таким образом, любое общее кратное k ( x ) многочленов f ( x ) и h ( x ) имеет вид (8) и первое утверждение теоремы 5 доказано.

Изображение слайда
6

Слайд 6: 4. Наименьшее общее кратное многочленов

Докажем равенство (9). В самом деле, из равенства (8) следует, что многочлен есть общее кратное многочленов f ( x ) и h ( x ) и, что любое общее кратное f ( x ) и h ( x ) на него делится. Таким образом, . ◙

Изображение слайда
7

Слайд 7: 4. Наименьшее общее кратное многочленов

Т е о р е м а 5 (о НОК двух многочленов). Любое общее кратное многочленов многочленов f ( x ) и h ( x ) имеет вид , где t(x)  P [ x ]. (8) При этом . ( 9 ) Из теоремы 5 вытекает Следствие 7. Наименьшее общее кратное двух взаимно простых многочленов равно их произведению. ◙

Изображение слайда
8

Слайд 8: 4. Наименьшее общее кратное многочленов

Пример 5. В кольце многочленов R [ x ] с действительными коэффициентами найдем НОК многочленов и. Согласно вычислениям примера 1 НОД ( f(x),h(x) = x+ 1. По формуле ( 8 ) имеем . Поделив сначала многочлен на двучлен x+1, получим многочлен. Теперь = = =.

Изображение слайда
9

Слайд 9: 4. Наименьшее общее кратное многочленов

НОК нескольких многочленов f 1 ( x ), f 2 ( x ), …, f m ( x ) может быть найден индуктивным способом на основании следующей формулы: . Таким образом, для нахождения НОК ( f 1 ( x ), f 2 ( x ), …, f m ( x ) ) следует в соответствии с этой формулой найти сначала k 1 ( x )=НО K ( f 1 ( x ), f 2 ( x )), затем k 2 ( x )=НОК( k 1 ( x ), f 3 ( x )) и т.д.; и, наконец, многочлен k m -1 ( x )=НОК( k m-2 ( x ), f m ( x )), который и будет искомым НОК.

Изображение слайда
10

Слайд 10: 3. Приводимые и неприводимые многочлены

Основными задачами этого параграфа являются рассмотрение: понятий приводимого и неприводимого многочленов; теоремы об однозначном разложении многочлена в произведение неприводимых; критерий приводимости многочленов 2-й и 3-й степени.

Изображение слайда
11

Слайд 11: 3. Приводимые и неприводимые многочлены

Из предыдущих пунктов ясно, что между свойствами делимости в кольце многочленов, где P – поле, и свойствами делимости в кольце Z целых чисел существует глубокая аналогия. Эта аналогия будет продолжена и с введением понятий приводимого и неприводимого многочлена – аналогов понятий составного и простого числа. Определение 1. Многочлен f(x) кольца P [ x ] положительной степени называется приводимым над P, если он может быть представлен в виде произведения двух многочленов положительной степени из P [ x ] ; в противном случае f(x) называется неприводимым над P.

Изображение слайда
12

Слайд 12: 3. Приводимые и неприводимые многочлены

Замечание 1. Точно так же определяются понятия приводимого и неприводимого многочлена над произвольным коммутативным кольцом K с единицей. В этом случае в кольце K [ x ] возможно ввести понятия составного (разложимого) и простого элемента, которые, в общем случае, не совпадают с понятиями приводимого и неприводимого многочлена. Этим объясняется, в частности, использование в теории многочленов терминов «приводимый многочлен» и «неприводимый многочлен» вместо терминов «составной многочлен» и «простой многочлен».

Изображение слайда
13

Слайд 13: 3. Приводимые и неприводимые многочлены

Замечание 2. Многочлены нулевой степени и нуль-многочлен не являются в силу определения 1 ни приводимыми, ни неприводимыми над P. Замечание 3. Неприводимый над Р многочлен может оказаться приводимым над его расширением F. В самом деле, многочлен f(x)=x 2 - 2 неприводим над полем Q рациональных чисел, но приводим над полем R действительных чисел, так как f(x)=x 2 - 2 = ( x+  2) ( x-  2).

Изображение слайда
14

Слайд 14: 3. Приводимые и неприводимые многочлены

Понятно, что если многочлен f ( x ) приводим над Р, то deg f(x)> 0 и f ( x ) представим в виде f ( x )=g ( x ) h ( x ), (1) где g ( x ),h ( x )  Р [ x ], deg g(x)> 0 и deg h(x)> 0. Если многочлен f ( x ) неприводим над Р, то, по-прежнему, deg f(x)> 0, но в любом представлении f ( x ) в виде (1) либо deg g(x)= 0, либо deg h(x)= 0, т.е один из сомножителей обязан быть элементом поля Р. Отметим несколько важных для дальнейшего свойств неприводимых многочленов.

Изображение слайда
15

Слайд 15: Свойства неприводимых многочленов

Непосредственно из определения 1 вытекают следующие два свойства: 1 °. Все многочлены первой степени неприводимы над Р. 2 °. Многочлен, отличающийся от неприводимого множителем нулевой степени (т.е. элементом из P ) сам неприводим.

Изображение слайда
16

Слайд 16: 3. Приводимые и неприводимые многочлены

3 °. Делители неприводимого многочлена p(x) исчерпываются ненулевыми элементами поля P и многочленами отличающимися от p(x) множителем нулевой степени, т.е. если в кольце P [ x ], то либо f(x)=c, либо f(x)=cp(x), где с – элемент поля Р. ◘ Если, то p ( x)=f(x)q(x), где либо deg f(x)= 0, либо deg q(x)= 0. В первом случае f(x)=c, где c  P. Во втором случае p ( x)=df(x ), где d – элемент поля Р. Отсюда f(x)=cp(x),где c=d -1. ◙ 4 °. Если нормированный неприводимый многочлен делится на нормированный неприводимый многочлен, то они совпадают. ◘ Вытекает непосредственно из свойства 3 °. ◙

Изображение слайда
17

Слайд 17: 3. Приводимые и неприводимые многочлены

5 °. Для любого многочлена f(x) и неприводимо - го многочлена p(x) могут быть только следующие две возможности: либо f(x) делится на p(x) в кольце P [ x ], либо f(x) и p(x) взаимно просты. ◘ Если f(x) делится на p(x), то доказывать нечего. Пусть f(x) не делится на p(x) и d(x) – общий делитель f(x) и p(x). По свойству 3 ° либо d(x)=c, либо d (x)=cp(x), где с – элемент поля P. Если бы имел место второй случай, то многочлен f(x) делился бы на p(x), что противоречило бы предположению. Таким образом, f(x) и p(x) взаимно просты. ◙

Изображение слайда
18

Слайд 18: 3. Приводимые и неприводимые многочлены

6 °. Если произведение двух или нескольких многочленов делится на неприводимый многочлен p(x), то по крайней мере один из сомножителей делится на p(x). ◘ Рассмотрим случай двух сомножителей. Пусть. Если f(x) делится на p(x), то свойство 6 ° доказано. Пусть f(x) не делится на p(x). Тогда по свойству 6 ° f(x) и p(x) взаимно просты. По свойству 2 ° взаимно простых многочленов получаем теперь, что в этом случае. ◙

Изображение слайда
19

Слайд 19: 3. Приводимые и неприводимые многочлены

Следующая теорема продолжает аналогию с целыми числами и показывает, что неприводимые многочлены играют такую же роль, что и простые числа. Т е о р е м а 1 (о разложении многочлена в произведение неприводимых). Любой многочлен из кольца P [ x ] положительной степени единственным образом (с точностью до порядка сомножителей) представим в виде произведения элемента поля Р и нормированных неприводимых над Р многочленов, т.е. , (2) где с  P и – неприводимые над P нормированные многочлены, и если , (3) где с  P и – неприводимые над P нормированные многочлены, то . (4)

Изображение слайда
20

Слайд 20: 3. Приводимые и неприводимые многочлены

(2) ◘ Существование представления (2). Прежде всего ясно, что f(x) можно представить в виде f(x)=cf 1 (x), где c – старший коэффициент многочлена f(x), а f 1 (x) – нормированный многочлен. Если f 1 (x) – неприводим, то существование представления (2) доказано. Если f 1 (x) приводим, то он разложим в произведение двух нормированных многочленов меньшей степени: f 1 (x)=g(x)h(x).

Изображение слайда
21

Слайд 21: 3. Приводимые и неприводимые многочлены

(2) ◘ Существование представления (2). Если оба многочлена g(x) и h(x) – неприводимы, то существование представления (2) доказано. Если хотя бы один из многочленов g(x) и h(x) приводим, то мы разложим его в произведение двух нормированных многочленов меньшей степени и т. д. Так как на каждом шаге мы понижаем степень входящих в разложение многочлена сомножителей, понятно, что через конечное число шагов мы получим представление вида (2).

Изображение слайда
22

Слайд 22: 3. Приводимые и неприводимые многочлены

(2) Единственность представления вида (2). Пусть имеется два представления вида (2). Тогда справедливо равенство . ( 3 ) Из того, что левая часть этого равенства делится на p 1 ( x ), следует, что и правая его часть делится на p 1 (x). Но тогда по свойству 6 ° один из многочленов q i (x) ( i =1,2, …, m ) делится на p 1 (x).

Изображение слайда
23

Слайд 23: 3. Приводимые и неприводимые многочлены

(2) Единственность представления вида (2). . ( 3 ) Пусть, для определенности,. Отсюда по свойству 6 ° p 1 (x)= q 1 (x). Сокращая равенство ( 3 ) на p 1 (x) ( = q 1 (x) ), получим равенство . Проводя аналогичные рассуждения для многочлена p 2 (x), придем к равенству p 2 (x)= q 2 (x). Сокращая соотв. равенство на p 2 (x), получим равенство .

Изображение слайда
24

Слайд 24: 3. Приводимые и неприводимые многочлены

(2) Единственность представления вида (2). Продолжая этот процесс, при k<m через k шагов придем к невозможному равенству , а при k>m через m шагов – к невозможному равенству . Таким образом, справедливы равенства (4). ◙

Изображение слайда
25

Слайд 25: 3. Приводимые и неприводимые многочлены

(2) Замечание 4. Если в разложении (2) сгруппировать одинаковые сомножители, то получим разложение вида , где неприводимые нормированные многочлены попарно различны. Такое разложение называется каноническим.

Изображение слайда
26

Слайд 26: 3. Приводимые и неприводимые многочлены

Замечание 5. Теорема 1 не дает практического способа нахождения канонического разложения многочлена над произвольным полем. В общем случае такого способа не существует. Но в некоторых частных случаях это сделать можно, например, путем преобразований или, отделяя кратные множители многочлена. С последним методом мы познакомимся позже, а сейчас рассмотрим пример на использование первого метода.

Изображение слайда
27

Слайд 27: 3. Приводимые и неприводимые многочлены

Пример 1. Найти каноническое разложение многочлена f(x)=x 4 – 16 над полями Q, R и C. ◘ Имеем f(x) = x 4 -16 = ( x 2 – 4 ) ( x 2 + 4 ) = = ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x 2 + 4 ) каноническое разложение многочлена f(x) = x 4 – 16 над полями Q, R, а f(x) = x 4 -16 = ( x + 2 ) ( x - 2 )( x + 2i ) ( x – 2i ) каноническое разложение многочлена f(x)=x 4 – 16 над полем С.

Изображение слайда
28

Слайд 28: 3. Приводимые и неприводимые многочлены

Полезно иметь в виду следующие два утверждения. Т е о р е м а 2. Если степень многочлена f(x) из кольца P [ x ] больше 1 и f(x) имеет хотя бы один корень с в поле P, то он приводим над P. ◘ В самом деле, по характеристическому свойству корня имеем f(x) = (x-c)q(x), где многочлен q(x) из P [ x ] имеет положительную степень. Отсюда следует приводимость f(x) над P. ◙

Изображение слайда
29

Слайд 29: 3. Приводимые и неприводимые многочлены

Разумеется, приводимыми могут быть и многочлены, не имеющие корней в поле P. Например, f(x) = ( x 2 – 2 )( x 2 + 4 ) не имеет рациональных корней, но он приводим над Q. Таким образом, наличие корня в поле P – это достаточный признак приводимости многочленов степени > 1 над полем P. Для многочленов 2-й и 3-й степени этот признак приводимости является также необходимым.

Изображение слайда
30

Слайд 30: 3. Приводимые и неприводимые многочлены

Т е о р е м а 3. Многочлен f(x) из кольца P [ x ] 2 -й или 3 -й степени приводим над полем P тогда и только тогда, когда он имеет по крайней мере один корень в поле P. ◘ Если f(x)  P [ x ], deg f(x) > 1 ( в частности, deg f(x) = 2 или deg f(x) = 3 ) и f(x) имеет корень в поле P, то по теореме 2 f(x) приводим в P [ x ]. Обратно, если многочлен f(x) 2-й или 3-й степени приводим над P, то в его разложении в произведение двух многочленов из кольца один из множителей имеет первую степень, т.е. f(x)=(ax+b)q(x). Отсюда элемент – ( b/a ) поля P является корнем многочлена f(x). ◙

Изображение слайда
31

Слайд 31: 4. Производная многочлена и формула Тейлора

Основными задачами этого параграфа являются рассмотрение вопросов: понятие и свойства производной многочлена; теорема Тейлора;

Изображение слайда
32

Слайд 32: 1. Производная многочлена и ее свойства

При изучении многочленов, как и при изучении любых функций, оказывается полезным понятие производной. Если P – числовое поле, то оно всегда содержит в качестве подполя поле Q рациональных чисел и, следовательно, является плотным, т.е. каждая точка множества P является предельной при обычном понимании окрестности точки. В таких полях можно пользоваться обычным определением производной через предел. Если же P не является числовым, то не имея в нем понятия обычной окрестности (обычной топологии), мы не можем на такое поле распространить обычное понятие производной. Над такими полями понятие производной вводится формально, по известному правилу дифференцирования многочленов. Оказывается, что при этом сохраняются все важные свойства, известные для производных функций.

Изображение слайда
33

Слайд 33: 1. Производная многочлена и ее свойства

Определение 1. Производной многочлена из кольца P [x] называется многочлен, обозначаемый через f’(x) и равный . Таким образом, для нахождения производной f’(x) надо каждый член a k x k многочлена f(x) взять кратным k раз, а показатель степени k  1 переменной x при уменьшить на 1. Очевидно, что c’= 0 для любого элемента c из P. Вторая производная определяется как производная многочлена f’(x) и т.д.

Изображение слайда
34

Слайд 34: 1. Производная многочлена и ее свойства

Т е о р е м а 1 ( о свойствах производной). Пусть f(x) и g(x) – произвольные многочлены из кольца P [ x ], c – любой элемент поля P. Тогда справедливы следующие свойства : 1 . (f(x) g(x))’= f’(x) ± g’(x). 2 . (f(x) g(x))’= f’(x)g(x) + f(x)g’(x). 3 . (cf(x) )’= c f’(x). 4 . ( f(x) k )’= ( k -1) f(x) k-1 f’(x).

Изображение слайда
35

Слайд 35: 1. Производная многочлена и ее свойства

1 . (f(x) ±g(x))’= f’(x) ± g’(x). 2 . (f(x) g(x))’= f’(x)g(x) + f(x)g’(x). 3 . (cf(x) )’= c f’(x). 4 . ( f(x) k )’= ( k -1) f(x) k-1 f’(x). ◘ Докажем первое из этих равенств. Пусть. Тогда , где s=max { n,m }, a k = 0 при k>n и b k = 0 при k>m. По определению производной имеем . (1)

Изображение слайда
36

Слайд 36: 1. Производная многочлена и ее свойства

1 . (f(x) ±g(x))’= f’(x) ± g’(x). 2 . (f(x) g(x))’= f’(x)g(x) + f(x)g’(x). 3 . (cf(x) )’= c f’(x). 4 . ( f(x) k )’= ( k -1) f(x) k-1 f’(x). (1) С другой стороны, учитывая, что , имеем . (2) Из (1) и (2) получаем равенство 1 .

Изображение слайда
37

Слайд 37: 1. Производная многочлена и ее свойства

1 . (f(x) ±g(x))’= f’(x) ± g’(x). 2 . (f(x) g(x))’= f’(x)g(x) + f(x)g’(x). 3 . (cf(x) )’= c f’(x). 4 . ( f(x) k )’= ( k -1) f(x) k-1 f’(x). Аналогично проверяется свойство 2 . Свойство 3  вытекает из свойства 2  при g(x)=c. Свойство 2  с помощью индукции можно распространить на любое конечное число сомножителей, т.е. = =. Отсюда при получим свойство 4 . ◙

Изображение слайда
38

Слайд 38: 2. Формула Тейлора

Используя понятие производной многочлена, можно вычислить коэффициенты разложения любого многочлена из кольца P [ x ] по степеням двучлена ( x-c ). Предположим, что такое разложение существует . (3) Наша задача – найти коэффициенты A 0,A 1,A 2,…,A n этого разложения. Найдем все производные многочлена f(x) из (3):

Изображение слайда
39

Слайд 39: 2. Формула Тейлора

. (3) ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… Отсюда при x=c получаем (4) и, сл - но, . (5) Подставив значения коэффициентов из (5) в (3), получим . Это выражение и называют формулой Тейлора (1685–1731).

Изображение слайда
40

Слайд 40: 2. Формула Тейлора

Пример 1. Найти значения многочлена и всех его производных при x= 10, используя схему Горнера. ◘ Запишем разложение многочлена f(x) по степеням вида (3): . Очевидно, что коэффициент A 0 равен остатку f(x) от деления на x-c : .

Изображение слайда
41

Слайд 41: 2. Формула Тейлора

Далее, из последнего равенства видно, что коэффициент A 1 равен остатку от деления неполного частного, стоящего в квадратных скобках, на x-c и т.д. Учитывая, что остаток и неполное частное от деления многочлена на двучлен можно находить с помощью схемы Горнера, коэффициенты A 0, A 1, A 2, A 3, A 4 находятся из следующей таблицы:

Изображение слайда
42

Слайд 42: 2. Формула Тейлора

Таким образом, разложение многочлена f(x) по степеням x-c. По формулам (4) имеем f (10) = A 0 =-3, f’ (10) = A 1 =807, f’’ (10) = 2! A 2 =522, f (3) (10) = 3! A 3 =168, f (4) (10) = 4!=24. ◙

Изображение слайда
43

Слайд 43: 5. Отделение кратных множителей

Эффективных методов разложения многочлена на неприводимые множители нет. Более того, даже критериев приводимости и неприводимости над произвольным полем P нет. В этом параграфе мы укажем способ, который позволяет выделить произведение неприводимых множителей одинаковой кратности, а это во многих случаях облегчает задачу разложения на неприводимые множители. Введем сначала понятие кратного неприводимого множителя многочлена.

Изображение слайда
44

Слайд 44: 1. Кратные неприводимые множители

Определение 1. Говорят, что неприводимый над полем P многочлен p(x) является множителем кратности k для многочлена f(x) из кольца P [ x ] или что p(x) входит в разложение f(x) с кратностью k, если f(x) делится на p(x) k и не делится на p(x) k+1, т.е. многочлен f(x) представим в виде f(x)= p(x) k q(x), (1) где q(x) не делится на p(x). Множители кратности 1 называются простыми.

Изображение слайда
45

Слайд 45: 1. Кратные неприводимые множители

Т е о р е м а 2. Если неприводимый над полем Р многочлен p(x) входит в разложение многочлена f(x)  P [ x ] с кратностью k, то входит в разложение производной ) с кратностью k-1. ◘ В самом деле, дифференцируя равенство f(x)= p(x) k q(x), (1) получим . Второе слагаемое в квадратной скобке делится на p(x), но первое не делится, т.к. p’(x) и q(x) не делятся на p(x). Следовательно, сумма в квадратной скобке не может делиться на p(x). Таким образом, p(x) входит в разложение f(x) с кратностью k. ◙

Изображение слайда
46

Слайд 46: 1. Кратные неприводимые множители

Т е о р е м а 2. Если неприводимый над полем Р многочлен p(x) входит в разложение многочлена f(x)  P [ x ] с кратностью k, то входит в разложение производной ) с кратностью k-1. Следствие 1. Если c – корень многочлена f(x) кратности k, то c является корнем кратности k-1 для его производной. ◘ Действительно, достаточно в качестве p(x) взять многочлен x-c и применить теорему 2. ◙ Следствие 2. Если – каноническое разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов, то . ◙ Следствие 3. Многочлен над полем Р не имеет кратных множителей тогда и только тогда, когда он взаимно прост со своей производной. ◘ В самом деле, в силу следствия 2 d(x) =НОД( f(x),f’(x) )=1  k 1 -1=k 2 -1=…=k s -1= 0  k 1 =k 2 =…=k s = 1. ◙

Изображение слайда
47

Слайд 47: 2. Отделение кратных множителей

Пусть. Введем обозначения: Y 1, Y 2, …,Y s – произведение всех неприводимых множителей соответственно кратности 1, 2, …, k в каноническом разложении f(x). Тогда . ( 2 ) Наша задача будет состоять в том, чтобы найти многочлены Y 1, Y 2, …,Y s.

Изображение слайда
48

Слайд 48: 2. Отделение кратных множителей

Согласно следствию 2 из теоремы 1 имеем: Составим теперь многочлены

Изображение слайда
49

Слайд 49: 2. Отделение кратных множителей

Отсюда, поделив каждое из полученных равенств на следующее за ним равенство, получим равенства: . Подставляя теперь найденные значения a n Y 1, Y 2,…, Y s в равенство ( 2 ), окончательно имеем , где .

Изображение слайда
50

Слайд 50: 2. Отделение кратных множителей

Пример. Отделить кратные множители многочлена . Решение. 1) Находим многочлены D i = НОД( D i -1, D ’ i -1 ) : , ; , ; ,. 2) Находим многочлены: ,,. 3) Находим многочлены: ,,. Ответ:.

Изображение слайда
51

Последний слайд презентации: АЛГЕБРА (3-й семестр)

Изображение слайда