Презентация на тему: АЛГЕБРА (3-й семестр)

АЛГЕБРА (3-й семестр)
МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§5. Отделение кратных множителей.
1. Кратные неприводимые множители.
1. Кратные неприводимые множители.
1. Кратные неприводимые множители.
2. Отделение кратных множителей.
2. Отделение кратных множителей.
2. Отделение кратных множителей.
2. Отделение кратных множителей.
§ 6. Рациональные дроби
§ 6. Рациональные дроби
§ 6. Рациональные дроби
§ 6. Рациональные дроби
§ 6. Рациональные дроби
§ 6. Рациональные дроби
§ 6. Рациональные дроби
§ 6. Рациональные дроби
§ 6. Рациональные дроби
§ 6. Рациональные дроби
§ 6. Рациональные дроби
§ 6. Рациональные дроби
§ 6. Рациональные дроби
§ 6. Рациональные дроби
§ 6. Рациональные дроби
АЛГЕБРА (3-й семестр)
1/26
Средняя оценка: 4.6/5 (всего оценок: 55)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (338 Кб)
1

Первый слайд презентации: АЛГЕБРА (3-й семестр)

2010-11 учебный год Доцент Мартынова Т. А.

Изображение слайда
2

Слайд 2: МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ЛЕКЦИЯ 7 Доцент Мартынова Т.А.

Изображение слайда
3

Слайд 3: 5. Отделение кратных множителей

Эффективных методов разложения многочлена на неприводимые множители нет. Более того, даже критериев приводимости и неприводимости над произвольным полем P нет. В этом параграфе мы укажем способ, который позволяет выделить произведение неприводимых множителей одинаковой кратности, а это во многих случаях облегчает задачу разложения на неприводимые множители. Введем сначала понятие кратного неприводимого множителя многочлена.

Изображение слайда
4

Слайд 4: 1. Кратные неприводимые множители

Определение 1. Говорят, что неприводимый над полем P многочлен p(x) является множителем кратности k для многочлена f(x) из кольца P [ x ] или что p(x) входит в разложение f(x) с кратностью k, если f(x) делится на p(x) k и не делится на p(x) k+1, т.е. многочлен f(x) представим в виде f(x)= p(x) k q(x), (1) где q(x) не делится на p(x). Множители кратности 1 называются простыми.

Изображение слайда
5

Слайд 5: 1. Кратные неприводимые множители

Т е о р е м а 2. Если неприводимый над полем Р многочлен p(x) входит в разложение многочлена f(x)  P [ x ] с кратностью k, то входит в разложение производной f ’ (x) с кратностью k-1. ◘ В самом деле, дифференцируя равенство f(x)= p(x) k q(x), (1) получим . Второе слагаемое в квадратной скобке делится на p(x), но первое не делится, т.к. p’(x) и q(x) не делятся на p(x). Следовательно, сумма в квадратной скобке не может делиться на p(x). Таким образом, p(x) входит в разложение f ’(x) с кратностью k-1 ◙

Изображение слайда
6

Слайд 6: 1. Кратные неприводимые множители

Т е о р е м а 2. Если неприводимый над полем Р многочлен p(x) входит в разложение многочлена f(x)  P [ x ] с кратностью k, то входит в разложение производной ) с кратностью k-1. Следствие 1. Если c – корень многочлена f(x) кратности k, то c является корнем кратности k-1 для его производной. Следствие 2. Если – каноническое разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов, то . ◙ Следствие 3. Многочлен над полем Р не имеет кратных множителей тогда и только тогда, когда он взаимно прост со своей производной.

Изображение слайда
7

Слайд 7: 2. Отделение кратных множителей

Пусть. Введем обозначения: Y 1, Y 2, …,Y s – произведение всех неприводимых нормированных множителей соответственно кратности 1, 2, …, k в каноническом разложении f(x). Тогда. ( 2 ) Наша задача будет состоять в том, чтобы найти многочлены Y 1, Y 2, …,Y s.

Изображение слайда
8

Слайд 8: 2. Отделение кратных множителей

Согласно следствию 2 из теоремы 1 имеем: Составим теперь многочлены

Изображение слайда
9

Слайд 9: 2. Отделение кратных множителей

Отсюда, поделив каждое из полученных равенств на следующее за ним равенство, получим равенства: . Подставляя теперь найденные значения a n Y 1, Y 2,…, Y s в равенство ( 2 ), имеем , где .

Изображение слайда
10

Слайд 10: 2. Отделение кратных множителей

Пример. Отделить кратные множители многочлена . Решение. 1) Находим многочлены D i : , ; , ; ,. 2) Находим многочлены Е i : ,,. 3) Находим многочлены Y i : ,,. Ответ:.

Изображение слайда
11

Слайд 11: 6. Рациональные дроби

Основной задачей этого параграфа является обоснование того, что любая правильная рациональная дробь является суммой простейших.

Изображение слайда
12

Слайд 12: 6. Рациональные дроби

Так как кольцо P [ x ] многочленов с коэффициентами из поля Р является областью целостности, для него можно построить поле частных P ( x ). Элементы этого поля определяются парой многочленов f(x) и h(x) 0 из кольца P [ x ] и называются рациональными дробями. Само поле P ( x ) называется полем рациональных дробей. Как и в любом поле, в P ( x ) имеют место обычные условия равенства двух дробей и правила их сложения, вычитания, умножения и деления.

Изображение слайда
13

Слайд 13: 6. Рациональные дроби

Ясно, что любую рациональную дробь можно выражать единственным образом, сократив их, т.е. поделив числитель и знаменатель на их НОД. Тогда числитель и знаменатель будут взаимно просты. Определение 1. Если в рациональной дроби степень числителя меньше степени знаменателя, то она называется правильной. Нулевой многочлен 0 тоже будем считать правильной дробью.

Изображение слайда
14

Слайд 14: 6. Рациональные дроби

Т е о р е м а 1. Всякая рациональная дробь представима и притом единственным образом в виде суммы многочлена из кольца P [ x ] и правильной дроби. ◘ По теореме о делении с остатком для многочленов имеем f(x)=h(x)q(x)+r(x), deg r (x)< deg h (x). Отсюда по правилам сложения дробей где q(x) – многочлен из P [ x ], а – правильная дробь. Предположим, что где deg r* (x)< deg h* (x). Тогда , где слева записан многочлен, а справа – правильная дробь.

Изображение слайда
15

Слайд 15: 6. Рациональные дроби

Т е о р е м а 1. Всякая рациональная дробь представима и притом единственным образом в виде суммы многочлена из кольца P ( x ) и правильной дроби. Это равенство возможно лишь при q(x)-q*(x)= 0. Но тогда и . Таким образом, q(x)=q*(x), и единственность представления доказана. ◙

Изображение слайда
16

Слайд 16: 6. Рациональные дроби

Определение 2. Рациональная дробь называется простейшей, если ее знаменатель является степенью неприводимого над полем Р многочлена p(x) (т.е. h(x)= p(x) k, где k 1 ) и deg f (x)<deg p (x). Понятно, что простейшая рациональная дробь является правильной. Т е о р е м а 2. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших.

Изображение слайда
17

Слайд 17: 6. Рациональные дроби

Т е о р е м а 2. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших. ◘ Пусть – правильная дробь. Рассмотрим сначала случай, когда, где НОД ( s(x),t(x) ) =1. По теореме о линейном представлении НОД многочленов существуют такие многочлены, что справед - ливо равенство . Отсюда, умножая это равенство на f(x), получаем равенство . ( 1) Поделив с остатком многочлен на t(x), получим deg u(x)< deg t(x). (2)

Изображение слайда
18

Слайд 18: 6. Рациональные дроби

Т е о р е м а 2. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших. . ( 1) deg u(x)< deg t(x). (2) Тогда равенство (1) можно записать в виде , где. (3) Так как согласно (2) и по условию , то из (3) и, следовательно, deg v(x)< deg s(x). (4) Таким образом, в силу (2), (3) и (4) имеем , , где ,т.е. дробь при условии, что НОД ( s(x),t(x) ) =1 разложима в сумму правильных дробей.

Изображение слайда
19

Слайд 19: 6. Рациональные дроби

Т е о р е м а 2. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших. Каждое из полученных слагаемых тоже можно разложить в сумму правильных дробей, если их знаменатели разлагаются в произведение взаимно простых многочленов. Итак, если – разложение многочлена в произведение неприводимых над полем Р многочленов, то индукцией доказывается, что где при i= 1, 2,…, s. Это означает, что достаточно научиться разлагать в сумму простейших правильную дробь вида где p(x) – неприводимый многочлен кольца Р [ x ].

Изображение слайда
20

Слайд 20: 6. Рациональные дроби

Т е о р е м а 2. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших. Разделим многочлен u ( x ) на p(x) k-1, остаток – на p(x) k-2 и т.д. Запишем соответствующие равенства: …………………………………………………………… Поскольку, то Аналогично проверяется, что при i= 1,2,…, s.

Изображение слайда
21

Слайд 21: 6. Рациональные дроби

Т е о р е м а 2. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших. ………………………………………………………………. Складывая полученые равенства, получаем: и, следовательно, , где при при i= 1,2,…, s. ◙ Замечание 1. Нетрудно также доказать единственность такого представления.

Изображение слайда
22

Слайд 22: 6. Рациональные дроби

Пример. Разложить рациональную дробь в сумму простейших дробей в поле R ( x ), если и ◘ Требуемое разложение ищем в виде . Коэффициенты A, B, C, D, E находим методом неопределенных коэффициентов. Имеем

Изображение слайда
23

Слайд 23: 6. Рациональные дроби

Можно просто приравнять коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа. Но разумнее другая модификация метода неопределенных коэффициентов. В последнем равенстве будем придавать такие значения для x, при которых коэффициенты при некоторых из неизвестных A, B, C, D, E обращаются в нуль, и тем самым получим уравнения или системы уравнений, связывающие эти неизвестные:

Изображение слайда
24

Слайд 24: 6. Рациональные дроби

1) ; 2) ; 3) x= 0  x= -1 . Отсюда, учитывая, что A= 3 и B= 1, получаем систему , ( 5 ) из которой находим D= 1 ; 4). Присоединяя первое из уравнений системы (5) –C+E=-1, находим C=-2 и E=-3.

Изображение слайда
25

Слайд 25: 6. Рациональные дроби

A= 3, B= 1, C=-2, D= 1 и E=-3. Окончательно имеем Замечание 2. Как известно, теорема 2 широко используется в курсе математического анализа при интегрировании.

Изображение слайда
26

Последний слайд презентации: АЛГЕБРА (3-й семестр)

Изображение слайда