Презентация на тему: Аксиоматика Гильберта. Следствия из аксиом Д.Гильберта

Аксиоматика Гильберта. Следствия из аксиом Д.Гильберта
Аксиоматика Гильберта. Следствия из аксиом Д.Гильберта
Структура аксиоматики
Аксиомы группы I
Следствия из группы I
Аксиомы группы II
Следствия из группы I и II
Следствия из группы I и II
Аксиомы группы III
Следствия из группы III
Следствия из группы III
Следствия из группы III
Следствия из группы III
Аксиом ы группы IV
Аксиома группы V
Аксиоматика Гильберта. Следствия из аксиом Д.Гильберта
21 аксиома
Аксиоматика Гильберта. Следствия из аксиом Д.Гильберта
1. Дополните предложение.
2. Выберите верный ответ.
3. Найдите соответствие между левым и правым столбцами.
Ключ к тесту
1/22
Средняя оценка: 4.3/5 (всего оценок: 58)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (219 Кб)
1

Первый слайд презентации: Аксиоматика Гильберта. Следствия из аксиом Д.Гильберта

Выполнила: Федорец Татьяна, 34 группа

Изображение слайда
2

Слайд 2

Неопределяемыми в этой системе аксиом понятиями являются: точка, прямая линия, плоскость. Есть также 3 элементарных бинарных отношения : Лежать между, применимо к точкам; Содержать, применимо к точкам и прямым, точкам и плоскостям или прямым и плоскостям; Конгруэнтность (геометрическое равенство), применимо, например, к отрезкам, углам или треугольникам, и обозначается символом ≅. Все точки, прямые и плоскости предполагаются различными, если не оговорено особое.

Изображение слайда
3

Слайд 3: Структура аксиоматики

Система из 20 аксиом поделена на 5 групп : аксиомы принадлежности : планиметрические стереометрические аксиомы порядка : линейные Аксиома Паша аксиомы конгруэнтности : конгруэнтность отрезков конгруэнтность углов аксиомы непрерывности: Аксиома Архимеда Аксиома Кантора аксиома параллельности. Структура аксиоматики

Изображение слайда
4

Слайд 4: Аксиомы группы I

1. Две точки определяют только одну прямую. 2. На каждой прямой лежит не менее двух точек. 3. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. 4. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну. 5. В каждой плоскости лежит по крайней мере одна точка. 6. Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и все точки ее лежат в той же плоскости. 7. Если две плоскости имеют одну общую точку, то они имеют еще хотя бы одну общую точку. 8. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие на одной плоскости. Аксиомы группы I

Изображение слайда
5

Слайд 5: Следствия из группы I

Теорема 1. Две различные прямые не могут иметь больше одной общей точки. Теорема 2. Две плоскости либо совсем не имеют общих точек, либо имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки. Теорема 3. Плоскость и не лежащие на ней прямая не могут иметь более одной общей точки. Теорема 4. Через прямую и не лежащую на ней точку, или через две различные прямы с общей точкой проходит одна и только одна плоскость. Теорема 5. На каждой плоскости существует по меньшей мере три точки, не лежащие на одной прямой. Следствия из группы I

Изображение слайда
6

Слайд 6: Аксиомы группы II

1. Если точка В лежит на прямой между точками А и С, то А, В и С - различные точки прямой и В лежит также между С и А. 2. При данных двух точках А и В на прямой линии существует по крайней мере одна такая точка С, что В лежит между А к С. 3. Из трех данных точек на прямой не более чем одна лежит между двумя другими. 4. Аксиома Паша. Если в данной плоскости даны треугольник АВС и какая-нибудь прямая l, не проходящая через одну из его вершин и пересекающая сторону АВ, то эта прямая непременно пересечет одну из двух других сторон АС или ВС. Аксиомы группы II

Изображение слайда
7

Слайд 7: Следствия из группы I и II

Между любыми двумя точками существует большое множество других её точек. С реди любых 3-х точек А, В, С одной прямой всегда существует одна, лежащая между 2-мя другими. Если некоторая прямая а пересекает каких - либо два из трёх отрезков АВ, ВС и АС, то она не пересекает третий. Если В лежит на отрезке АС и С на отрезке В D, то В и С лежат на отрезке AD. Если даны четыре точки прямой, то они могут быть всегда так обозначены буквами А, В, С, D, что точка В лежит как между А и С, так и между А и D ; а точка С как между А и D, так и между В и D. Следствия из группы I и II

Изображение слайда
8

Слайд 8: Следствия из группы I и II

Каждая прямая а, лежащая в плоскости а, разделяет не лежащие на ней точки этой плоскости на две области, имеющее следующее свойство: каждая точка А одной области определяет вместе с каждою точкою В другой области отрезок АВ, внутри которого лежит одна точка прямой а; напротив, две любые точки А и А ’ одной и той же области определяют отрезок АА ’, внутри которого не лежит ни одна точка прямой а. Следствия из группы I и II А А ’ B a

Изображение слайда
9

Слайд 9: Аксиомы группы III

1. На любой прямой от любой ее точки можно отложить отрезок, равный данному. 2. Два отрезка, равные третьему, равны между собой. 3. Пусть А, В, С — точки одной прямой и К, L, М —также точки одной прямой. Пусть, кроме того, АВ = KL, ВС = L М. Если отрезки АВ и ВС, а также К L и L М не имеют общих точек, то АС = КМ. 4. От любой точки данной прямой по данную сторону можно построить один и только один угол, равный данному. Каждый угол равен самому себе. 5. Если в двух треугольниках A ВС и К L М стороны АВ = К L, АС = КМ и ВАС = LKM, то АВС = К L М. Аксиомы группы III

Изображение слайда
10

Слайд 10: Следствия из группы III

Из линейных аксиом III 1-3. Теорема 1. Если в двух конгруэнтных рядах точек А,В,…, K, L и A’, B’,…, K’,L’ точки первого расположены так, что В лежит между А с одной стороны и C, D,…, K, L с другой. С между А, В с одной стороны и D,…, K, L с другой и т.д., то и точки A’, B’,…, K’, L’ расположены таким же образом, т.е. B’ лежит между A’ с одной стороны и C’, D’,…, K’, L’ с другой, C’ лежит между A’, B’ с одной стороны и D’,…, K’, L’ с другой и т.д. Теорема 2. Если ≡ и ≡, то также всегда ≡. Следствия из группы III

Изображение слайда
11

Слайд 11: Следствия из группы III

Если для ∆АВС и ∆А'В'С ' АВ = А ' B ', ВС = В ’C’ и A = A, mo ∆АВС = ∆ А'В'С' Если для ∆АВС и ∆А'В'С ', АВ = А'В’,, , то ∆АВС = ∆ А'В'С'. Если для ∆АВС и ∆А ' В'С ', АВ = А'В', ВС = В'С', АС = А'С', то ∆АВС = ∆ А'В'С'. Внешний угол треугольника больше всякого внутреннего, не смежного с ним. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следствия из группы III

Изображение слайда
12

Слайд 12: Следствия из группы III

Теорема 4. Все прямые углы равны между собою. Теорема 5. (Третья теорема о конгруэнтности треугольников). Если в двух треугольниках три стороны одного соответственно конгруэнтны трем сторонам другого, то треугольники конгруэнтны. Теорема 6 выражает тот важный результат, что все пространственные предложения о конргуэнтности, а следовательно, и о движении в пространстве, суть следствия пяти линейных и плоскостных аксиом конгруэнтности, если присовокупить сюда I и II группы аксиом. Следствия из группы III

Изображение слайда
13

Слайд 13: Следствия из группы III

Теорема 1. ( Первая теорема о конгруэнтности треугольников ). Если для двух треугольников АВС и А'В'С ' удовлетворены конгруэнции: АВ≡ A ' B ', AC≡A ' C ', ≡, то оба треугольника взаимно конгруэнтны. Теорема 2. ( Вторая теорема о конгруэнтности треугольников ). Если в двух треугольниках соответственно конгруэнтны между собою сторона и оба прилежащие к ней угла, то треугольники конгруэнтны. Теорема 3. Если два угла и взаимно конгруэнтны, то и смежные им углы и тоже взаимно конгруэнтны. Следствия из группы III

Изображение слайда
14

Слайд 14: Аксиом ы группы IV

Аксиома Архимеда. Если даны отрезок CD и луч AB, то существует число n и n точек A 1,…, A n на AB таких, что: A j A j+1 ≅ CD, 1≤j< n, и B лежит между A 1 и A n. Аксиома Кантора. Пусть на прямой a дана бесконечная последовательность отрезков A 1 B 1, A 2 B 2,…, такая, что каждый последующий есть часть предыдущего и для любого наперед заданного отрезка CD найдется n N такое, что A n B n <CD. Тогда на прямой a существует точка М, принадлежащая каждому из отрезков { A n B n }. Аксиом ы группы IV

Изображение слайда
15

Слайд 15: Аксиома группы V

Аксиомы параллельности : через данную точку в данной плоскости можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Аксиома группы V

Изображение слайда
16

Слайд 16

Присоединяя к аксиомам конгруэнтности аксиому параллельности, мы приходим к известным предложениям. Теорема 1. Если две параллельные пересечены третьей прямой, то накрестлежащие соответственные углы равны, и обратно: конгруэнтность накрестлежащих или соответственных углов имеет следствием параллельность прямых. Теорема 2. Сумма углов треугольника равна двум прямым.

Изображение слайда
17

Слайд 17: 21 аксиома

Гильберт изначально (1899) включил 21-ю аксиому : « Любым четырём точкам на прямой можно присвоить имена A, B, C, и D так, чтобы точка B лежала между точками A и C, а также между A и D; точка C — между A и D, а также между B и D.» Э.Х. Мур  (англ.) доказал в 1902 году, что эта аксиома избыточна. 21 аксиома

Изображение слайда
18

Слайд 18

Каждый человек имеет некоторый горизонт взглядов. Когда он сужается и становится бесконечно малым, то превращается в точку. Тогда человек говорит: "Это моя точка зрения".

Изображение слайда
19

Слайд 19: 1. Дополните предложение

Система аксиом Гильберта состоит из … аксиом, которые разделены на … групп: 1) аксиомы……………………………………………...; 2) аксиомы……………………………………………...; 3) аксиомы…....................................................................; 4) аксиомы ……………………………………………..; 5) аксиома……………………………………………….

Изображение слайда
20

Слайд 20: 2. Выберите верный ответ

К какой группе аксиом относится аксиома Паша? 1) аксиомы непрерывности; 2) аксиомы конгруэнтности; 3) аксиомы порядка; 4) аксиомы принадлежности.

Изображение слайда
21

Слайд 21: 3. Найдите соответствие между левым и правым столбцами

А) На любой прямой от любой ее точки можно отложить отрезок, равный данному. Б) Две точки определяют только одну прямую. В) Если даны отрезок CD и луч AB, то существует число n и n точек A 1,…, A n на AB таких, что: A j A j+1 ≅ CD, 1≤j< n, и B лежит между A 1 и A n Г) Из трех данных точек на прямой не более чем одна лежит между двумя другими. Аксиомы принадлежности; Аксиомы порядка; Аксиомы конгруэнтности; Аксиомы непрерывности

Изображение слайда
22

Последний слайд презентации: Аксиоматика Гильберта. Следствия из аксиом Д.Гильберта: Ключ к тесту

1. Система аксиом Гильберта состоит из 20 аксиом, которые разделены на 5 групп: 1) Аксиомы принадлежности ; 2) Аксиомы порядка ; 3) Аксиомы конгруэнтности ; 4) Аксиомы непрерывности ; 5) Аксиома параллельности. 2. 3) аксиомы порядка 3. 1-Б, 2-Г, 3-А, 4-В

Изображение слайда