Презентация на тему: 3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка

Реклама. Продолжение ниже
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
Линейные дифференциальные уравнения n- го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
Линейные ДУ высшего порядка
Линейно зависимые и линейно независимые функции
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВРОНСКОГО
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
Структура общего решения ЛОДУ
ЛОДУ с постоянными коэффициентами
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
Примеры
Пример
Пример
ЛНДУ с произвольными коэффициентами
ЛНДУ с произвольными коэффициентами
ЛНДУс постоянными коэффициентами
Форма частного решения
ЛНДУ n - го порядка
ПРИМЕР
Линейные неоднородные уравнения n -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
4. Системы линейных уравнений
4.1. Основные понятия
Основные понятия
Основные понятия
Основные понятия
4.2. Методы решения систем
Пример
4.1.2. Метод Эйлера самостоятельно!!!! См., например, д.т.письменный «конспект лекций по высшей математике» :полный курс
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
Конец лекций по диф. уравнениям и системам диф. уравнений.
Теория функций комплексного переменного
§ 1. Комплексные числа.
Мнимая единица
1. Понятие комплексного числа
Равенство двух комплексных чисел ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Алгебраическая форма записи комплексного числа
2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
4. Тригонометрическая форма комплексного числа
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
Тригонометрическая форма комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного числа
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
П римеры
Примеры
Переход от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической
П ример
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
Показательная форма записи комплексного числа
Действия над комплексными числами в показательной форме
Действия над комплексными числами в показательной форме
Возведение в степень и извлечение корня
П ример
КОНЕЦ ЛЕКЦИИ ПО КОМПЛЕКСНЫМ ЧИСЛАМ
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ
Определение предела последовательности КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ К. Ч.
Расходящаяся последовательность. Бесконечно удаленная точка
Бесконечно удаленная точка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
Лекция №4
Расширенная комплексная плоскость
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
ЗАМЕЧАНИЕ
ПРИМЕР
ЗАМЕЧАНИЕ
ЗАМЕЧАНИЕ
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
ПРИМЕР
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
ПРИМЕР
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
пример
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
ПРИМЕР
Лекция № 5
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
§4. Дифференцирование функции комплексной переменной
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
УСЛОВИЯ КОШИ-РИМАНА
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной
Геометрический смысл модуля и аргумента производной
ПРИМЕР
Геометрический смысл модуля и аргумента производной
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
Лекция № 6
Интегрирование функции комплексного переменного
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
Непосредственное интегрирование
Пример
Пример
Интегрирование аналитической функции. Первообразная
Примеры
Интегральные теорема и формула Коши
Примеры
Интегральная формула Коши
замечание
Следствия интегральной формулы Коши
Примеры
Пример
Ряды в комплексной плоскости
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
Числовые ряды
Свойства рядов с к. ч.
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
Лекция №7
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
Свойства абсолютно сходящихся рядов с к. ч.
Степенные ряды
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
Теорема Абеля для к. с. рядов
Степенные ряды
Свойства степенных рядов
Ряд Тейлора
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
Ряд Лорана
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
Ряд Лорана
Ряд Лорана
Ряд Лорана
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
Свойства интегралов от ф.к.п.
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
Вычисление интегралов от ф.к.п.
4.1.2. Метод Эйлера
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
П ример
Пример ( продолжение)
Пример (окончание)
ЛОДУ 2-го порядка, с произвольными коэффициентами
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛОДУ 2-го ПОРЯДКА
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
К ПРАКТИКЕ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ В.П.
ДУ в.п., допускающие понижение порядка
П ример
Переход от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической
Геометрический смысл модуля производной
Геометрический смысл аргумента производной
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка
1/190
Средняя оценка: 4.8/5 (всего оценок: 9)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (7745 Кб)
Реклама. Продолжение ниже
1

Первый слайд презентации: 3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка

1

Изображение слайда
1/1
2

Слайд 2: Линейные дифференциальные уравнения n- го порядка

2 Линейные дифференциальные уравнения n- го порядка Определение. Линейными дифференциальными уравнениями n- го порядка называют уравнения вида a 0 ( x ) y ( n ) + a 1 ( x ) y ( n- 1) + …+ a n- 1 ( x ) y ' + a n ( x ) y = b ( x ), (1) где a 0 ( x ), a 1 ( x ), …, a n ( x ) и свободный член b ( x ) – заданные функции аргумента x и a 0 ( x )  0. Если a i ( x ) = const, i = 1,…, n, то уравнение называется линейным ДУ n - го порядка с постоянными коэффициентами. Если b ( x )  0, то уравнение называется линейным однородным. Если b ( x )  0, то уравнение называется линейным неоднородным (или уравнением с правой частью ). .

Изображение слайда
1/1
3

Слайд 3

Так как a 0 ( x )   ≢  0  , то уравнение ( 1 ) можно записать в виде: y ( n )  +  p 1 ( x )     y ( n –  1)  + … +  p n  – 1 ( x )     y     +   p n ( x )     y   = f ( x ) . ( 2 ) Уравнение ( 2 ) называют приведенным. Уравнение (2) -линейное неоднородное уравнение. В дальнейшем будем работать только с приведенным уравнением. Кроме того, будем предполагать, что p i ( x )   ( i   =   1,   2,   …,   n ) и f ( x ) непрерывны на некотором отрезке [ a ; b ]. Тогда для уравнения ( 2 ) будут выполняться условия теоремы существования и единственности решения. Следовательно,  x 0  [ a ; b ] и  y 0  ,   y 0 i  ℝ существует един - ственное решение уравнения ( 2 ), удовлетворяющее условию y ( x 0 ) =  y 0 , y      ( x 0 ) =  y 01 , y      ( x 0 ) =  y 02 ,  … ,   y ( n –1) ( x 0 ) =  y 0 n –1 . 3

Изображение слайда
1/1
4

Слайд 4: Линейные ДУ высшего порядка

4 Линейные ДУ высшего порядка Если f ( x )  0, то уравнение ( 1 ) принимает вид: y ( n ) + p 1 ( x ) y ( n- 1) + …+ p n- 1 ( x ) y ' + p n ( x ) y = 0 -ЛОДУ ( 3 ) Свойства решений ЛОДУ в п. 1. Если y 1 ( x ) – решение ЛОДУ в п y ( n ) + p 1 ( x ) y ( n- 1) + …+ p n- 1 ( x ) y ' + p n ( x ) y = 0, ( 3 ) то функция y = C y 1 ( x ), где С = const, тоже является решением этого ДУ. 2. Если y 1, y 2 – решения ЛОДУ в п (2), то функция ( y 1 + y 2 ) – тоже является решением этого ДУ. 3. Если y 1, y 2, …, y k – решения ЛОДУ в п (2), то функция ( С 1 y 1 + С 2 y 2 + С k y k ) – тоже является решением этого ДУ для любых постоянных С 1, С 2, …, С k.

Изображение слайда
1/1
5

Слайд 5: Линейно зависимые и линейно независимые функции

5 Линейно зависимые и линейно независимые функции Пусть система из n функций y 1, y 2,…, y n – определена и непрерывна на интервале ( a, b ). Определение. Функции y 1, y 2,…, y n называются линейно зависимыми на ( a, b ) если существует числа  1,  2,…,  n  R такие, что на этом интервале выполняется тождество  1 y 1 +  2 y 2 +…+  n y n  0, ( 4 ) причем хотя бы одно  i  0. Если тождество (4) справедливо лишь при  1 =  2 =…=  n = 0, то функции y 1, y 2,…, y n называются линейно независимыми на ( a, b ).

Изображение слайда
1/1
6

Слайд 6: ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВРОНСКОГО

6 ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВРОНСКОГО Определение. Определитель Вронского (вронскиан) функций y 1, y 2,…, y n, определенных и ( n -1) раз дифференцируемых на интервале ( a, b ) – это определитель порядка n следующего вида: .

Изображение слайда
1/1
7

Слайд 7

7 Теорема 1. ( необходимые условия линейной зависимости функций ) Если функции y 1, y 2,…, y n линейно зависимые и имеют производные до ( n -1)-го порядка, то их определитель Вронского тождественно равен нулю. Теорема 2. Если n решений y 1, y 2,…, y n ЛОДУ высшего порядка (3) линейно независимы на ( a, b ), то их определитель Вронского не может обращаться в ноль ни в одной точке интервала ( a, b ). Следствие. Определитель Вронского системы функций y 1, y 2,…, y n, являющихся решениями ЛОДУ в. п. (3), либо тождественно равен нулю, если система решений линейно зависима, либо не обращаться в ноль ни в одной точке, если система решений линейно независима.

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже
8

Слайд 8: Структура общего решения ЛОДУ

8 Структура общего решения ЛОДУ Определение. Система n линейно независимых решений ЛОДУ n – го порядка называется его фундаментальной системой. (Ф.С.Р.) Теорема 3. ( О с труктуре общего решения ЛОДУ ) Если функции y 1 ( x ), y 2 ( x ),…, y n ( x ), x  ( a, b ) – образуют фундаментальную систему решений ЛОДУ (3) на интервале ( a, b ), то, y ( x ) = c 1 y 1 ( x ) + c 2 y 2 ( x ) +…+ c n y n ( x ) ( 5 ) где c i – const, является общим решением этого уравнения.

Изображение слайда
1/1
9

Слайд 9: ЛОДУ с постоянными коэффициентами

9 ЛОДУ с постоянными коэффициентами Определение. Линейными однородными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами называют уравнения вида y ( n ) + p 1 y ( n- 1) + …+ p n- 1 y ' + p n y = 0, (6) где коэффициенты p 1, p 2, …, p n- 1, p n – const. Частные решения будем искать в виде: y = e kx (7) Определение. Уравнение k n + p 1 k n- 1 + …+ p n- 1 k + p n = 0 (8) называется характеристическим уравнением ЛОДУ с постоянными коэффициентами, а многочлен k n + p 1 k n- 1 + …+ p n- 1 k + p n – характеристическим многочленом.

Изображение слайда
1/1
10

Слайд 10

y ( n ) + p 1 y ( n- 1) + …+ p n- 1 y ' + p n y = 0, (6) Решения уравнения ( 6 ) будем искать в виде y  =  e k x  , где k – некоторая постоянная. Имеем: y      =   k      e k   x  , y      =   k 2      e k x  , y      =   k 3      e k x  , …, y ( n )   =   k n      e k x  . Подставляем y ,   y     ,   y     ,   …  ,   y ( n ) в уравнение ( 6 ) и получаем: k n      e k   x  +  p 1      k n  –  1      e k   x  + … +  p n  – 1      k      e k   x  +   p n      e k   x  =  0  k n   +  p 1      k n  –  1   + …  +   p n   –   1      k   +    p n   =   0-   ( 8 ) характеристическое уравнение ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 10

Изображение слайда
1/1
11

Слайд 11

11 Алгоритм решения ЛОДУ n -го постоянными коэффициентами 1. Составить характеристическое уравнение k n   +  p 1      k n  –  1   + …  + p n   –   1      k   +    p n   =   0 2. Найти его корни k 1, k 2, … k n. 3. По характеру корней найти частные линейно независимые решения y 1 ( x ), y 2 ( x ),…, y n ( x ) (Ф.С.Р.) согласно таблице 4. 4. Записать общее решение y ( x ) = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) +…+ C n y n ( x ).

Изображение слайда
1/1
12

Слайд 12

12

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
13

Слайд 13

13

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/7
14

Слайд 14

14

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
Реклама. Продолжение ниже
15

Слайд 15: Примеры

15

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/4
16

Слайд 16: Пример

16

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/5
17

Слайд 17: Пример

17

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/6
18

Слайд 18: ЛНДУ с произвольными коэффициентами

18 ЛНДУ с произвольными коэффициентами Пусть ЛНДУ имеет вид y ( n ) + p 1 ( x ) y ( n- 1) + …+ p n- 1 ( x ) y ' + p n ( x ) y = f ( x ), (2) где p 1 ( x ), p 2 ( x ), …, p n ( x ), f ( x ) – заданные функции аргумента x, причем f ( x )  0. Теорема 4. ( О с труктуре общего решения ЛНДУ ) Общее решение ЛНДУ есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. При n = 2, ЛНДУ 2-го порядка y '' + p 1 ( x ) y ' + p 2 ( x ) y = f ( x ).

Изображение слайда
1/1
19

Слайд 19: ЛНДУ с произвольными коэффициентами

19 ЛНДУ с произвольными коэффициентами Теорема 5. ( Принцип суперпозиции решений ) Если функции y i ( x ) – являются решениями ЛНДУ y ( n ) + p 1 ( x ) y ( n- 1) + …+ p n- 1 ( x ) y ' + p n ( x ) y = f i ( x ), ( 9 ) то функция y =  1 y 1 +  2 y 2 +…+  k y k является решением уравнения y ( n ) + p 1 ( x ) y ( n- 1) + …+ p n ( x ) y =  1 f 1 ( x ) +  2 f 2 ( x ) +…+  k f k ( x ). ( 1 0 ) При n = 2, ЛНДУ 2-го порядка y'' + p 1 ( x ) y' + p 2 ( x ) y =  1 f 1 ( x ) +  2 f 2 ( x ).

Изображение слайда
1/1
20

Слайд 20: ЛНДУс постоянными коэффициентами

20 ЛНДУс постоянными коэффициентами Рассмотрим ЛНДУ с постоянными коэффициентами y ( n ) + p 1 y ( n- 1) + …+ p n- 1 y ' + p n y = f ( x ), (11) где коэффициенты p 1, p 2, …, p n- 1, p n – const. Метод неопределенных коэффициентов можно применить, если правая часть имеет вид f ( x ) = e px [ P m ( x ) cos q x + Q l ( x ) sin q x ], где P m ( x ) и Q l ( x ) – многочлены степени m и l соответственно, p и q – некоторые числа.

Изображение слайда
1/1
21

Слайд 21: Форма частного решения

21 Форма частного решения

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
22

Слайд 22: ЛНДУ n - го порядка

22 ЛНДУ n - го порядка Замечание 1. Степени многочленов P m ( x ) и Q l ( x ) в случаях 3,4 таблицы 5 можно считать одинаковой ( max { m, l }). В этом случае коэффициенты при недостающих степенях одного из многочленов можно считать равными нулю. Замечание 2. Правая часть уравнения может содержать несколько слагаемых; в этом случае частное решение также составляется из нескольких слагаемых в соответствии с теоремой 5.

Изображение слайда
1/1
23

Слайд 23: ПРИМЕР

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения: 23

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
24

Слайд 24: Линейные неоднородные уравнения n -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение y ( n ) + p 1 ( x ) y ( n- 1) + …+ p n- 1 ( x ) y ' + p n ( x ) y = b ( x ), (2) Если известно общее решение соответствующего ЛОДУ y ( n ) + p 1 ( x ) y ( n- 1) + …+ p n- 1 ( x ) y ' + p n ( x ) y = 0, ( 3 ), то можно найти и общее решение ЛНДУ ( 2 ). Действительно, пусть y 1  ,   y 2  ,   …  ,   y n   – ф.с.р. уравнения ( 3 ). Тогда его общее решение будет иметь вид y  =  C 1      y 1  +  C 2      y 2  + …  +   C n      y n  , ( 12) где C 1  ,   C 2  ,   …  ,   C n   – произвольные постоянные. Полагаем, что РЕШЕНИЕ ЛНДУ ПО СТРУКТУРЕ совпадает с решением соответствующего ЛОДУ, т.е. имеет вид y  =  C 1 ( x )     y 1  +  C 2 ( x )     y 2  + … +  C n ( x )     y n  , ( 1 3 ) где C 1 ( x )  ,   C 2 ( x )  ,   …  ,   C n ( x )   – некоторые функции. 24

Изображение слайда
1/1
25

Слайд 25

Функции C 1 ( x )  ,   C 2 ( x )  ,   …  ,   C n ( x )   должны удовлетворять системе ( 1 4 ) ( 14 ) – система n линейных уравнений с n неизвестными. Ее определитель – определитель Вронского W [ y 1  ,   y 2  ,   …  ,   y n   ]  . 25

Изображение слайда
1/1
26

Слайд 26

Так как y 1  ,   y 2  ,   …  ,   y n   образуют ф.с.р. однородного уравнения, то по теореме2 W [ y 1  ,   y 2  ,   …  ,   y n   ]      0  ,     x  [ a ; b ].  система ( 14 ) совместна и имеет единственное решение: Откуда получаем где C̃ i – произвольные постоянные. Общее решение неоднородного уравнения тогда имеет вид y  =  C 1 ( x )     y 1  +  C 2 ( x )     y 2  + … +  C n ( x )     y n  , (1 3 ) Изложенный выше метод нахождения решения линейного неоднородного уравнения n -го порядка получил название метода вариации произвольных постоянных. 26

Изображение слайда
1/1
27

Слайд 27

27 Алгоритм решения ЛНДУ n -го порядка методом вариации произвольных постоянных 1. Найти ФСР ЛОДУ соответствующего ЛНДУ и записать его общее решение: y ( x ) = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) +…+ C n y n ( x ). 2. Записать решение ЛНДУ в форме общего решения ЛОДУ, считая C i = C i ( x ), i = 1, 2, …, n : y ( x ) = C 1 ( x ) y 1 ( x ) + C 2 ( x ) y 2 ( x ) +…+ C n ( x ) y n ( x ). 3. Построить систему для определения C i ' ( x ) и решить ее согласно ( 14). 4. Найти C i ( x ) и подставить их в общее решение ЛНДУ ( 13).

Изображение слайда
1/1
28

Слайд 28: 4. Системы линейных уравнений

28

Изображение слайда
1/1
29

Слайд 29: 4.1. Основные понятия

29

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/7
30

Слайд 30: Основные понятия

30

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/5
31

Слайд 31: Основные понятия

31

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/4
32

Слайд 32: Основные понятия

32

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
33

Слайд 33: 4.2. Методы решения систем

33

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/4
34

Слайд 34: Пример

34

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
35

Слайд 35: 4.1.2. Метод Эйлера самостоятельно!!!! См., например, д.т.письменный «конспект лекций по высшей математике» :полный курс

Глава 10, параграф 52. Системы дифференциальных уравнений. 35

Изображение слайда
1/1
36

Слайд 36

36

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
37

Слайд 37: Конец лекций по диф. уравнениям и системам диф. уравнений

37

Изображение слайда
1/1
38

Слайд 38: Теория функций комплексного переменного

38

Изображение слайда
1/1
39

Слайд 39: 1. Комплексные числа

39

Изображение слайда
1/1
40

Слайд 40: Мнимая единица

40

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
41

Слайд 41: 1. Понятие комплексного числа

41

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
42

Слайд 42: Равенство двух комплексных чисел ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть z 1  =  x 1   +   i y 1  ,      z 2  =  x 2   +   i y 2  . z 1 = z 2 если 42

Изображение слайда
1/1
43

Слайд 43: Алгебраическая форма записи комплексного числа

43

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
44

Слайд 44: 2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

44

Изображение слайда
1/1
45

Слайд 45: Действия над комплексными числами в алгебраической форме

45

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
46

Слайд 46: Действия над комплексными числами в алгебраической форме

46

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
47

Слайд 47: Действия над комплексными числами в алгебраической форме

47

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
48

Слайд 48

48

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/7
49

Слайд 49: 4. Тригонометрическая форма комплексного числа

49

Изображение слайда
1/1
50

Слайд 50

50

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/8
51

Слайд 51: Тригонометрическая форма комплексного числа

51

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
52

Слайд 52: Тригонометрическая форма комплексного числа

52

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/5
53

Слайд 53

53

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
54

Слайд 54

54

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
55

Слайд 55: П римеры

55

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
56

Слайд 56: Примеры

56

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
57

Слайд 57: Переход от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической

Z = x + i y, Пример. Представить в тригонометрической форме комплексное число: Z= 1+i. x=1, y=1. 57

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/6
58

Слайд 58: П ример

Представить в тригонометрической форме комплексное число: Z= 1+i - алгебраическая форма к.ч. Решение. -тригонометрическая форма комплексного числа. 58

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/5
59

Слайд 59: Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

59

Изображение слайда
1/1
60

Слайд 60

60

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
61

Слайд 61: Показательная форма записи комплексного числа

61

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/6
62

Слайд 62: Действия над комплексными числами в показательной форме

62

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/4
63

Слайд 63: Действия над комплексными числами в показательной форме

63

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/5
64

Слайд 64: Возведение в степень и извлечение корня

64

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
65

Слайд 65: П ример

65

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
66

Слайд 66: КОНЕЦ ЛЕКЦИИ ПО КОМПЛЕКСНЫМ ЧИСЛАМ

66

Изображение слайда
1/1
67

Слайд 67

67

Изображение слайда
1/1
68

Слайд 68: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ

68

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
69

Слайд 69: Определение предела последовательности КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

69

Изображение слайда
1/1
70

Слайд 70: ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ К. Ч

70

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/5
71

Слайд 71: Расходящаяся последовательность. Бесконечно удаленная точка

71

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
72

Слайд 72: Бесконечно удаленная точка

72

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
73

Слайд 73

73

Изображение слайда
1/1
74

Слайд 74: Лекция №4

74

Изображение слайда
1/1
75

Слайд 75: Расширенная комплексная плоскость

75

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
76

Слайд 76

76

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
77

Слайд 77: ЗАМЕЧАНИЕ

77

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/7
78

Слайд 78: ПРИМЕР

78

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/5
79

Слайд 79: ЗАМЕЧАНИЕ

Основные понятия теории функций – предел функции, непрерывность функции и соответствующие им теоремы переносятся на функции комплексной переменной. Отличия начинаются в понятии производной. 79

Изображение слайда
1/1
80

Слайд 80: ЗАМЕЧАНИЕ

Смотри подробнее самостоятельно в книге: Письменный Конспект лекций по Высшей математике. Пункт 74.2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. ( стр. 526-527). 80

Изображение слайда
1/1
81

Слайд 81: ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

81

Изображение слайда
1/1
82

Слайд 82: ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

82

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
83

Слайд 83: ПРИМЕР

83

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
84

Слайд 84: ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

84

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
85

Слайд 85: ПРИМЕР

85

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
86

Слайд 86: ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

86

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
87

Слайд 87: ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

87

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
88

Слайд 88: пример

88

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
89

Слайд 89: ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

89

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
90

Слайд 90

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 90

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
91

Слайд 91: ПРИМЕР

91

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/5
92

Слайд 92: Лекция № 5

92

Изображение слайда
1/1
93

Слайд 93

Общая степенная функция 93

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
94

Слайд 94: ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Arcsin z  , Arccos z  , Arctg z  , Arcctg z  , Arcsh z  , Arcch z  , Arcth z  , Arccth z (САМОСТОЯТЕЛЬНО!!!)

Изображение слайда
1/1
95

Слайд 95

w = f ( z ) Доказательство w = u + iv w = z n w = e z w = Lnz заполнить w = z p, p   C заполнить w=sinz w=cosz заполнить w=tgz w=ctgz w=shz w=chz заполнить w=Arcsinz w=Arccosz заполнить w=Arctgz w=Arcctgz Основные элементарные функции w = | z | n ( cos n j + i sin n j ) w = e x e iy = e x ( cos y + i sin y ) ln | z |+ i ( argz +2 p k ) 95

Изображение слайда
1/1
96

Слайд 96: 4. Дифференцирование функции комплексной переменной

Опр. Пусть однозначная функция w   =  f ( z ) определена в точке z и некоторой ее окрестности. Тогда предел е сли он существует, наз. производной функции f ( z ) в точке, а функция f ( z ) наз. дифференцируемой в точке z. 96

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
97

Слайд 97

Дифференцирование функции комплексной переменной Пусть однозначная функция w  =  f ( z ) определена в точке z и некоторой ее окрестности. Этот предел называется производной функции w  =  f ( z ) в точке z и обозначается 97

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
98

Слайд 98

Теорема. (Достаточные условия дифференцируемости) Если действительная u ( x,  y ) и мнимая v ( x,  y ) части функции w  =  f ( z ) в точке z имеют полные дифференциалы и удовлетворяют условиям Коши – Римана, то функция f ( z ) = u ( x, y ) + i v ( x, y ) дифференцируема в точке z. Теорема. Условия Коши-Римана. (Необходимые условия дифференцируемости ) Если функция w  =  f ( z ) дифференцируема в точке z, то её действительная и мнимая части обладают частными производными первого порядка, которые удовлетворяют условиям Коши – Римана: и (4.2) Доказать ОПР. Функция f ( z ) называется дифференцируемой в области D, если она дифференцируема в каждой точке этой области. Все правила и формулы дифференцирования функций действительного переменного остаются в силе и для функций комплексного переменного. 98

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
99

Слайд 99: УСЛОВИЯ КОШИ-РИМАНА

99

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
100

Слайд 100

Пример 100

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/4
101

Слайд 101

Аналитическая функция ОПР. Функция w  =  f ( z ) называется аналитической в точке z, если существует окрестность этой точки, в которой f ( z ) аналитична. ОПР. Функция w  =  f ( z ), однозначная и дифференцируемая во всех точках области D, называется аналитической в этой области. Обратить внимание!!! D В области аналит.=дифф. В точке аналит. > дифф. 101

Изображение слайда
1/1
102

Слайд 102

Теорема. Действительная и мнимая части аналитической функции в области D являются гармоническими в этой области. ДОКАЗАТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО Гармонические функции ОПР. Уравнение вида называется уравнением Лапласа. ОПР. Действительная функция двух действительных переменных j ( x, y ), непрерывная в области D, имеющая непрерывные частные производные второго порядка, являющаяся решением уравнения Лапласа, называется гармонической в области D. 102

Изображение слайда
1/1
103

Слайд 103: Геометрический смысл производной

103

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
104

Слайд 104: Геометрический смысл производной

104

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
105

Слайд 105: Геометрический смысл производной

105

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
106

Слайд 106: Геометрический смысл модуля и аргумента производной

106

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
107

Слайд 107: ПРИМЕР

107

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/5
108

Слайд 108: Геометрический смысл модуля и аргумента производной

Теорема. Если в точке z 0 производная аналитической функции не равна нулю, то все бесконечно малые дуги, выходящие из точки z 0, при отображении поворачиваются на один и тот же угол, равный аргументу производной, и получают одно и то же растяжение, равное модулю производной. 108

Изображение слайда
1/1
109

Слайд 109

Отображение f достаточно малой окрестности точки z 0 сводится к повороту на угол равный arg ( f ’( z 0 )) и к преобразованию подобия с коэффициентом подобия k = | f ’( z 0 ) |. Геометрический смысл модуля и аргумента производной Показать f g 1 g 2 Q z 0 g 1 g 2 Q z 0 j = arg ( f ’( z 0 )) 109

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
110

Слайд 110

110

Изображение слайда
1/1
111

Слайд 111: Лекция № 6

111

Изображение слайда
1/1
112

Слайд 112: Интегрирование функции комплексного переменного

112

Изображение слайда
1/1
113

Слайд 113

113

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
114

Слайд 114

114

Изображение слайда
1/1
115

Слайд 115

115

Изображение слайда
1/1
116

Слайд 116

116

Изображение слайда
1/1
117

Слайд 117

117

Изображение слайда
1/1
118

Слайд 118

118

Изображение слайда
1/1
119

Слайд 119

119

Изображение слайда
1/1
120

Слайд 120: Непосредственное интегрирование

120

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
121

Слайд 121: Пример

Вычислить интеграл. 121

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
122

Слайд 122: Пример

122

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/4
123

Слайд 123: Интегрирование аналитической функции. Первообразная

123

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
124

Слайд 124: Примеры

1. 2. 124

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/7
125

Слайд 125: Интегральные теорема и формула Коши

125

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
126

Слайд 126: Примеры

Пример. Вычислить интегралы: 1. 2. 126

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/5
127

Слайд 127: Интегральная формула Коши

127

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
128

Слайд 128: замечание

128

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/4
129

Слайд 129: Следствия интегральной формулы Коши

129

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
130

Слайд 130: Примеры

130

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
131

Слайд 131: Пример

131

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
132

Слайд 132: Ряды в комплексной плоскости

132

Изображение слайда
1/1
133

Слайд 133

133

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
134

Слайд 134: Числовые ряды

134

Изображение слайда
1/1
135

Слайд 135: Свойства рядов с к. ч

135

Изображение слайда
1/1
136

Слайд 136

136

Изображение слайда
1/1
137

Слайд 137: Лекция №7

137

Изображение слайда
1/1
138

Слайд 138

138

Изображение слайда
1/1
139

Слайд 139: Свойства абсолютно сходящихся рядов с к. ч

139

Изображение слайда
1/1
140

Слайд 140: Степенные ряды

140

Изображение слайда
1/1
141

Слайд 141

141

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
142

Слайд 142: Теорема Абеля для к. с. рядов

142

Изображение слайда
1/1
143

Слайд 143: Степенные ряды

143

Изображение слайда
1/1
144

Слайд 144: Свойства степенных рядов

144

Изображение слайда
1/1
145

Слайд 145: Ряд Тейлора

145

Изображение слайда
1/1
146

Слайд 146

146

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
147

Слайд 147

147

Изображение слайда
1/1
148

Слайд 148: Ряд Лорана

148

Изображение слайда
1/1
149

Слайд 149

149

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
150

Слайд 150: Ряд Лорана

150

Изображение слайда
1/1
151

Слайд 151: Ряд Лорана

151

Изображение слайда
1/1
152

Слайд 152: Ряд Лорана

152

Изображение слайда
1/1
153

Слайд 153

153

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
154

Слайд 154

154

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
155

Слайд 155

155

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
156

Слайд 156

156

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
157

Слайд 157

157

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
158

Слайд 158

158

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
159

Слайд 159

159

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
160

Слайд 160

160

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
161

Слайд 161

161

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
162

Слайд 162

162

Изображение слайда
1/1
163

Слайд 163

163

Изображение слайда
1/1
164

Слайд 164

а) Г: { А = z 0, z 1, z 2, …, z n = В }, б) z k ∊ ( z k, z k +1 ) в) г) d = max | z k, z k +1 | Предел комплексной интегральной суммы при d → 0 называется интегралом от функции f ( z ) вдоль кривой Г и обозначается § 5. И нтегрирование функции комплексной переменной z 1 z 2 z k z k+1 z n-1 z n А = z 0 В = z n z 1 z 2 z k z n-1 ОПР. Пусть в области D задана однозначная и непрерывная ф. к. п. w   =   f ( z ) и пусть Г ( АВ ) – произвольная кусочно-гладкая ориентированная кривая ( Г ∊ D ). D (5.1 ) 164

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
165

Слайд 165

165

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
166

Слайд 166

166

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
167

Слайд 167: Свойства интегралов от ф.к.п

167

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
168

Слайд 168

168

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
169

Слайд 169: Вычисление интегралов от ф.к.п

169

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
170

Слайд 170: 4.1.2. Метод Эйлера

170

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
171

Слайд 171

171

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
172

Слайд 172: П ример

172

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
173

Слайд 173: Пример ( продолжение)

173

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
174

Слайд 174: Пример (окончание)

174

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/4
175

Слайд 175: ЛОДУ 2-го порядка, с произвольными коэффициентами

Р ассмотрим уравнение y      +   a 1 ( x )      y      +    a 2 ( x )      y   =   0  . Пусть y 1 ( x ) любое ненулевое решение этого уравнения Тогда его общее решение имеет вид ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения если известно, что его решением является функция ( С амостоятельно). 175

Изображение слайда
1/1
176

Слайд 176

Уравнение ( 8 ) называется характеристическим уравнением (для) уравнения ( 6 ). М ногочлен в левой части ( 8 ) называется характеристичес - ким многочленом, К орни уравнения ( 8 ) называются характеристическими корнями уравнения ( 6 ). Замечани я. 1) Формально характеристическое уравнение ( 8 ) получается из ( 6 ) заменой производных искомой функции на соответ - ствующие степени   k, а самой функции – на   k 0  = 1 . 2) Уравнение ( 8 ) – алгебраическое уравнение n -й степени.  оно имеет n корней, но 1) каждый корень считается столько раз, какова его кратность; 2) корни могут быть комплексными (причем, комплексные корни попарно сопряжены). Следовательно, функции вида e    x в общем случае не дадут всю ф.с.р. уравнения ( 6 ). 176

Изображение слайда
1/1
177

Слайд 177: ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛОДУ 2-го ПОРЯДКА

Для линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка ф ундаментальная система решений (Ф.С.Р.) с остоит из двух линейно независимых решений Его общее решение находится по формуле: 177

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/4
178

Слайд 178

178

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
179

Слайд 179

179

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/4
180

Слайд 180

180

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
181

Слайд 181

181

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
182

Слайд 182

182

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
183

Слайд 183: К ПРАКТИКЕ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ В.П

183

Изображение слайда
1/1
184

Слайд 184: ДУ в.п., допускающие понижение порядка

184 ДУ в.п., допускающие понижение порядка № Вид ДУ Замена Решение 1. F ( x, y ( n ) ) = 0 а) – Последовательное понижение порядка ДУ ( n - кратное интегрирование) б) ДУ нельзя разрешить относительно y ( n ) 2. (1  k  n ) ( нет y, y ', …, y ( k -1) ) Понижение порядка ДУ на ( n - k ) Если решение ДУ, то ( k -кратное интегрирование ) 3. (нет x ) Понижение порядка ДУ на 1 ,, …

Изображение слайда
1/1
185

Слайд 185: П ример

Пример. Представить в тригонометрической форме комплексное число: Z= 1+i. 185

Изображение слайда
1/1
186

Слайд 186: Переход от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической

Z = x + i y, 186

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/6
187

Слайд 187: Геометрический смысл модуля производной

187

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/6
188

Слайд 188: Геометрический смысл аргумента производной

188

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/4
189

Слайд 189

189

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
190

Последний слайд презентации: 3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка

190

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
Реклама. Продолжение ниже