Презентация на тему: 1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи

1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи
1/50
Средняя оценка: 4.1/5 (всего оценок: 60)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (1241 Кб)
1

Первый слайд презентации

1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи (самостоятельно) Уравнение энергии для идеальных сред Уравнение теплопроводности для упругого тела. Термодинамические соотношения. Система УРС для термоупругого тела. Соотношения Дюамеля-Неймана. Полная система уравнений термоупругости. Примеры частных задач (самостоятельно) Квазистатические и динамические задачи термоупругости. Автомодельное решение. Теория несимметричной упругости

Изображение слайда
2

Слайд 2

2 Плоские статические задачи теории упругости Если тонкая пластинка нагружена усилиями, приложенными на ее границе параллельно плоскости пластинки и равномерно распределенными по толщине (рис. 1), то компоненты напряжений на обеих поверхностях пластинки равны нулю, и можно предварительно предположить, что они равны нулю и внутри пластинки. Тогда напряженное состояние будет определяться только компонентами Рис.1 и называется плоским напряженным состоянием. Можно также предположить, что эти компоненты не зависят от z, т.е. не меняются по толщине пластинки, а являются функциями только x и y. Тензор деформаций в этом случае можно представить в виде Плоское напряженное состояние

Изображение слайда
3

Слайд 3

3 Вся система уравнений в этом случае может быть представлена в виде (без учета массовых сил и сил инерции) При решении задачи в перемещениях уравнений равновесия достаточно. (17) (18) (19) Подставляя (18), (19) в (17), придем к уравнениям Ламе для плоского НС Это задача о плоском НС в перемещениях. Покажите, откуда это следует Получите эти равенства

Изображение слайда
4

Слайд 4

4 В результате для плоской задачи в напряжениях имеем уравнения Это и есть задача о плоском напряженном состоянии в напряжениях Из уравнений неразрывности деформаций остается одно Для задачи в напряжениях представим (20) через напряжения с помощью закона Гука (19) (20) Дифференцируя первое уравнение (17) по x, а второе – по y, а затем складывая их, найдем

Изображение слайда
5

Слайд 5

5 Подобные упрощения возможны и в другом предельном случае, когда размер тела в направлении очень велик. Примером может быть длинное цилиндрическое или призматическое тело, нагруженное силами, которые перпендикулярны продольной оси тела и не меняются по его длине (см. рисунок). Предположим, что концевые сечения ограничены фиксированными гладкими абсолютно жесткими плоскостями, которые препятствуют перемещениям в продольном направлении. В этом случае можно считать, что все поперечные сечения находятся в одних и тех же условиях. Поскольку в каждом поперечном сечении условия одинаковы, достаточно рассмотреть тонкий слой между двумя сечениями, расстояние между которыми – единица. Компоненты вектора перемещений u и v являются функциями только x и y, но не зависят от продольной координаты z. Перемещения w =0 Если такое тело, нагружено силами, не меняющимися по всей длине, то и тензор напряжений имеет вид Плоская деформация

Изображение слайда
6

Слайд 6

6 Следовательно, в этом случае задача сводится к нахождению компонент тензора напряжений, и как функций координат x и y, а компонента тензора напряжений, а также отличные от нуля компоненты тензора деформаций, находятся из соотношений закона Гука: Это есть задача о плоской деформации Какие уравнения удобно использовать для решения этой задачи? Переходим к слайду 16

Изображение слайда
7

Слайд 7

7 Примеры квазистатических задач теории упругости (самостоятельно) 1. Однородная деформация - нормальное к S напряжение S – площадь сечения Однородная деформация – все компоненты тензора деформаций одинаковы по всему объему, т.е. не зависят от координат В этом случае все компоненты тензора напряжений, кроме, отличны от нуля На торце единственная компонента вектора нормали, отличная от нуля, это можно записать граничное условие В результате все компоненты тензора деформаций, отличные от нуля, найдем из соотношения закона Гука

Изображение слайда
8

Слайд 8

8 2. Определить модуль сдвига из опыта, принципиальная схема которого показана на рисунке единственная компонента тензора напряжений, отличная от нуля Смещение любой точки бруска происходит вдоль оси z ; смещением вдоль других осей можно пренебречь. Из соотношений Коши находим: С другой стороны, из закона Гука находим: Из рисунка следует:

Изображение слайда
9

Слайд 9

9 3. Определить деформацию шара под действием собственного веса Сила тяготения направлена противоположно радиус-вектору Если шар – изотропное тело, то задача становится симметричной и одномерной. Выбираем сферическую систему координат: В этих условиях остается единственное уравнение равновесия: Из общих соотношений для компонент тензора деформаций находим: Остальные компоненты тензора деформаций – равны нулю

Изображение слайда
10

Слайд 10

10 Г.у.: (2) (3) (4) Общее решение уравнения (2): (5) Постоянные интегрирования находим из г.у. Для того, чтобы воспользоваться вторым условием, этого нам нужно выразить напряжения через деформации из (1) Подставляя напряжения, выраженные через перемещения, в уравнение равновесия и собирая подобные слагаемые, найдем или (1)

Изображение слайда
11

Слайд 11

11 Находим: подставляем в (1) В результате находим: Следовательно, внутри шара существует недеформированная в радиальном направлении поверхность, где (6) Распределения компонент тензора напряжений находим с помощью закона Гука Используя условие (4), находим:

Изображение слайда
12

Слайд 12

12 4.Определить деформацию длинной полой цилиндрической трубы, заполненной газом или жидкостью с давлением p. Давление снаружи отсутствует, силой тяжести можно пренебречь. Здесь нам потребуется цилиндрическая система координат с осью z, направленной вдоль оси цилиндра. В соответствии с законом Паскаля, давление внутри трубы изотропно и действует во всех направлениях одинаково. Следовательно, деформация стенок трубы происходит только в радиальном направлении. Задача вновь становится одномерной. Уравнение равновесия в цилиндрической системе координат Компоненты тензора деформаций Из соотношений Дюамеля-Неймана (1) (2) (3)

Изображение слайда
13

Слайд 13

13 Г.у.: Общее решение: (4) (5) (6) (7) Используя первые два соотношения (3), из (1), находим

Изображение слайда
14

Слайд 14

14 Подставляя (7) в г.у., приходим к системе уравнений: Далее последовательно находим:

Изображение слайда
15

Слайд 15

15 5.Определить деформацию сплошного цилиндра, равномерно вращающегося вокруг своей оси с угловой скоростью ω. Силой тяжести пренебречь. Система координат - цилиндрическая На единицу массы цилиндра в точке с радиус-вектором r действует центробежная сила В соответствии с условиями, деформация цилиндра происходит только в направлении r и только под действием этой силы Уравнение равновесия: (1) (2) С 2 =0. Чтобы найти С 1, поступаем аналогично предыдущему: определяем деформации, подставляем их в соотношение для напряжений, используем внешнее граничное условие, находим С 2, затем перемещения и т.д.

Изображение слайда
16

Слайд 16

16 Волны напряжений в упругих телах Уравнения движения упругой среды (без учета объемных сил) сохраняю свою силу при любой зависимости между напряжениями и малыми деформациями. Для изотропной упругой среды имеет место закон Гука, с помощью которого получаются соотношения вида: Эти уравнения описывают распространение двух типов волн в среде.

Изображение слайда
17

Слайд 17

17 Дифференцируем первое уравнение по x, второе – по y, третье – по z и складываем: Это – волновое уравнение, описывающее распространение объёмного возмущения со скоростью С другой стороны, дифференцируя второе уравнение по z, а третье – по y и вычитая одно из другого, получим: или Тензор поворота и вектор поворота (Л3) вращение относительно оси Х. Аналогичные уравнения получаем для Следовательно, вихрь распространяется со скоростью 1 2

Изображение слайда
18

Слайд 18

18 Если объемное изменение равно нулю, из уравнений движения получаем: Все эти уравнения также однотипны. 3 4 Если компоненты вектора перемещений удовлетворяют условиям: где - потенциальная функция, то вращения (повороты) равны нулю и Подставляем последнее в первое уравнение движения: Аналогично найдем еще два уравнения. Т.о., внутри неограниченного твердого тела могут распространяться волны двух типов – волны расширения со скоростью и волны «искажения» или сдвига со скоростью

Изображение слайда
19

Слайд 19

19 (18) Теперь воспользуемся уравнением неразрывности: или (19) Это уравнение имеет место для газов, невязких жидкостей (и твердых) тел В адиабатических условиях: или (20) Уравнение энергии для идеальных сред эквивалентно Невязкий газ или Эти уравнения тоже можно рассматривать как уравнения энергии

Изображение слайда
20

Слайд 20

20 В частном случае несжимаемой невязкой среды (газа, невязкой жидкости и твердого тела) : (21) и (22) В случае вязкой жидкости Навье-Стокса ( находим аналогично ): Если среда (газ) – сжимаемая: (из УРС ( III )) или (23) (24) (25) или Несжимаемая жидкость Сжимаемая жидкость

Изображение слайда
21

Слайд 21

21 Идеальная жидкость с тепловым расширением Несжимаемая жидкость, но – плотность зависит от температуры. По-определению: Или: Это приближение справедливо, если жидкость – однородна по составу и в ней нет химических реакций, перепады температуры невелики. Это - модель несжимаемой жидкости в приближении Обербека-Буссинеска, в рамках которой во многих публикациях исследуется роль теплового расширения в гидродинамике или

Изображение слайда
22

Слайд 22

22 Энергия деформаций Общая форма уравнения баланса внутренней энергии Уравнение Гиббса: В адиабатических условиях: или - плотность энергии деформации (на единицу объема) Состояние, в котором энергия деформации равна нулю, можно выбрать произвольно. И так как напряжения должны обращаться в нуль вместе с деформациями, то простейшим видом выражения для энергии деформации является квадратичная форма: В случае малых деформаций - упругие модули (1) (2) (3) (4) (5)

Изображение слайда
23

Слайд 23

23 адиабатические упругие модули вместо (3) найдем Эти модули являются адиабатическими: Совершенно аналогично: найдем и изотермические упругие модули (6)

Изображение слайда
24

Слайд 24

24 Локальным аналогом изменения удельного объема будет величина, связанная с изменением диагональных компонент тензора деформаций Как перейти от (2) к термодинамической системе в целом? (2) Известно: (7) Если - шаровые тензоры, то (8) обобщение закона Гука на анизотропные среды девиатор Дома: покажите справедливость равенства Домножив (8) на плотность и проинтегрировав по объему, получим

Изображение слайда
25

Слайд 25

25 Для изотропного тела выражение для энергии деформаций принимает вид При постоянстве энтропии и других компонент тензора деформаций Аналогично: Т.о. мы получаем адиабатические скорости волн: Самостоятельно запишите выражения для изотермических скоростей

Изображение слайда
26

Слайд 26

26 Уравнения Гиббса можно записать для единицы объема (звездочки опускаем) Как мы уже знаем, имеет место система УРС. Для термоупругого тела: (1) (2) (3) Элементы термоупругости (4) Аналог изохорной теплоемкости (5) - изотермические упругие модули Как и выше,

Изображение слайда
27

Слайд 27

27 адиабатические упругие модули Подчеркнутые красным слагаемы описывают один из самых известных перекрестных эффектов тензор коэффициентов термоупругости (6) Если тело – изотропное, из последнего соотношения имеем: (7) Имеем систему УРС для термоупругого тела вместо (3), (4) найдем Покажите (Коваленко, Введение в ТУ)

Изображение слайда
28

Слайд 28

28 Это – соотношения Дюамеля Неймана (8) малые деформации Это и есть определяющие соотношения линейной теории упругости Система УРС в общем виде Теория термоупругости Теория упругости Изотропное тело (10) (9)

Изображение слайда
29

Слайд 29

29 Если K, α T – функции температуры, такая явная формула уже не имеет места Пользуясь соотношениями Дюамеля-Неймана и соотношением Упругое тело: Термоупругое тело: представьте энергию Гиббса как функцию компонент тензора напряжений и температуры

Изображение слайда
30

Слайд 30

30 В общем случае требуется найти совместно распределение температуры, компонент тензоров напряжений и деформаций и компоненты вектора перемещений. Для этого нужно еще одно уравнение - уравнение теплопроводности (т.к. неизвестных величин стало на 1 больше) Воспользуемся системой УРС (8) и уравнением энергии в форме Из (А) следует: Для изотропного тела получим или (Б) Уравнения динамической теории термоупругости (11) (А) + соотношения Коши и соотношения Дюамеля-Неймана

Изображение слайда
31

Слайд 31

31 В случае малых деформаций плотность перестает быть искомой величиной: Уравнение неразрывности нам явно не требуется. Но плотность, а также коэффициент теплового расширения, механические модули – могут быть функциями температуры. Задачи термоупругости динамические квазистатические связанные несвязанные Задачи теплопроводности и «упругости» в квазистатической постановке в любом случае разделяются

Изображение слайда
32

Слайд 32

32 Квазистатические задачи теории термоупругости: Динамические задачи теории термоупругости: Можем решить задачи о равновесии в общем виде, полагая, что поле температуры известно: Время в этом случае будет параметром.

Изображение слайда
33

Слайд 33

33 6.Найти напряжения в полом цилиндре, вызванные неравномерностью его нагрева. Силой тяжести и внешним давлением пренебрегаем. - заданная функция Г.у.: Пренебрегая влиянием торцов, можно считать, что сечения трубы, перпендикулярные к ее оси, остаются плоскими и работают в одинаковых условиях, так что радиальные перемещения зависят только от радиуса, перемещения в направлении угла отсутствуют. Относительное удлинение в направлении z пока неизвестно, но гипотеза плоских сечений позволяет считать, что Эта величина будет явно присутствовать во всех формулах и потребует определения на основе дополнительного условия. Уравнение равновесия – уже знакомо (1) (2) (3)

Изображение слайда
34

Слайд 34

34 Из соотношений Дюамеля-Неймана найдем . или Подставляя первые два соотношения (4) в уравнение равновесия (2), найдем (4) (5)

Изображение слайда
35

Слайд 35

35 Первый интеграл уравнения (5) есть Последующее интегрирование дает или С помощью (7) из соотношений Дюамеля-Неймана находим: (9) Пока у нас три неизвестные постоянные, а условий 2. (6) (7) (8)

Изображение слайда
36

Слайд 36

36 Это условие имеет место для цилиндра со свободными от нагрузки торцевыми поверхностями. Это условие означает, что труба не несет осевой нагрузки. Трех условий достаточно, чтобы найти неизвестные величины Из (9) и соотношений Дюамеля-Неймана Еще одним условием будет интегральное условие равновесия: (10) (11)

Изображение слайда
37

Слайд 37

37 Для осевых напряжений получаем формулу Воспользовавшись граничными условиями, найдем систему уравнений для определения постоянных A и B Следовательно:

Изображение слайда
38

Слайд 38

38 -среднее значение приращения температуры в пределах поперечного сечения трубы В результате найдем: Для того, чтобы найти осевую деформацию, постоянную для всех сечений трубы, имеем равенство

Изображение слайда
39

Слайд 39

39 Примеры динамических задач термоупругости Простейшая классическая нестационарная задача теории температурных напряжений формулируется как задача о тепловом ударе или ( 1,а ) ( 2 ) ( 3 ) Возможны иные варианты граничных условий

Изображение слайда
40

Слайд 40

40 Линейные задачи термоупругости Этим слагаемым во многих случаях можно пренебречь Решения задач линейной теории хорошо исследованы. Эти решения представляют собой волны, быстро затухающие при удалении от нагреваемой поверхности ( 2, а ) (1,б) (2,б) (3) (1,с) Уравнение движения в деформациях Основные уравнения в перемещениях

Изображение слайда
41

Слайд 41

41 Пример (задача о тепловом ударе, 1 я краевая задача) Используя те же уравнения, можем переписать уравнения в напряжениях: Решение несвязанной задачи удобно представить в виде: Коваленко А.Д. Термоупругость

Изображение слайда
42

Слайд 42

42 В связанной нелинейной теории появляются решения типа бегущей волны (4) ( 5 ) ( 6 ) Коэффициент связанности отличается от (3).

Изображение слайда
43

Слайд 43

43 Рассмотрим решения нелинейной системы уравнений, представляющие собой волны с постоянным профилем, движущиеся со скоростью. Перейдем к координате, полагая, что волна движется вправо. Тогда решение типа бегущей волны должно будет удовлетворять системе уравнений (7): ( 7 ) ( 9 ) При условии (11) уравнение (10) совпадает с уравнением Бюргерса, записанным в автомодельных переменных Система легко интегрируется : Подставим первое уравнение (7) (10) ( 8 ) «отбрасываем» производные по времени

Изображение слайда
44

Слайд 44

44 После введения этих обозначений придем к уравнению (13) (12) (13) (13) есть автомодельная форма уравнения (14) Решения (13) вида существуют при условии Это решение представляет собой слабую ударную волну Деформации, и напряжения во фронте волны также удовлетворяют уравнениям вида (13) решения уравнения (14) сходятся к ударно-волновым разрывным решениям уравнения (16) (14) (15)

Изображение слайда
45

Слайд 45

45 Вариант теории несимметричной упругости Теория упругости основывается на идеализированной модели упругого континуума, в которой связь нагрузок между обеими сторонами поверхностного элемента описывается исключительно главным вектором. Это предположение приводит к симметричному напряженному и деформированному состояниям. В тех случаях, когда существенными становятся градиенты напряжений симметричная теория дает результаты, не согласующиеся с экспериментальными данными. Наиболее естественная общая теория несимметричной упругости была разработана братьями Коссера в 1909 г. Каждая частица континуума Коссера – это элементарное тело с шестью степенями свободы. Силовые факторы в такой среде – силы и моменты. Уравнения движения : - динамическая характеристика среды (мера инерции при вращении) - моментные напряжения - несимметричный тензор напряжений - вектор поворота - тензор Леви-Чевита

Изображение слайда
46

Слайд 46

46 Тензор Леви-Чевита – антисимметричный тензор; если два индекса – одинаковые,. Если ijk - четная перестановка чисел, Если ijk - нечетная перестановка чисел, Например: Уравнение баланса энергии теперь имеет вид - несимметричный тензор деформаций - тензор изгиба-кручения. В этой модели свободная энергия является функцией независимых переменных Разложение свободной энергии в ряд Тейлора в окрестности естественного состояния можно представить в виде:

Изображение слайда
47

Слайд 47

47 Используя соотношения найдем определяющие соотношения Поскольку изменение температуры может вызвать только деформацию, но не повороты, то В результате уравнение теплопроводности будет иметь прежний вид. - постоянные Ламе - новые упругие постоянные зависит как от механических, так и от тепловых свойств (1)

Изображение слайда
48

Слайд 48

48 Используя материальные соотношения, уравнения движения можно представить в виде: (2) (3) В пяти уравнениях (1) – (3) пять неизвестных

Изображение слайда
49

Слайд 49

49 Выражения для деформаций через перемещения: Декартова система координат Цилиндрическая система координат Сферическая система координат

Изображение слайда
50

Последний слайд презентации: 1 Лекция 9 Плоские задачи теории упругости Частные задачи

50 Уравнения равновесия в цилиндрической системе координат Уравнения равновесия в сферической системе координат

Изображение слайда