Презентация на тему: 19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара

Реклама. Продолжение ниже
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
Постановка задачи
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
Метод Пикара последовательных приближений
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
Система дифференциальных уравнений (метод Пикара)
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара
1/61
Средняя оценка: 4.1/5 (всего оценок: 50)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (532 Кб)
Реклама. Продолжение ниже
1

Первый слайд презентации

19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара

Изображение слайда
1/1
2

Слайд 2

Дифференциальные уравнения устанавливают связь между независимыми переменными, искомыми функциями и их производными. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Постановка задачи

Изображение слайда
1/1
3

Слайд 3

Постановка задачи Например, условие равновесия упругой среды описывается обыкновенным дифференциальным уравнением: Здесь искомая функция (механическое напряжени) T ( x ) зависит от одной переменной x (координата). T x – компонента механических напряжений, F - действующая на сплошную среду сила в расчёте на единицу массы

Изображение слайда
1/1
4

Слайд 4: Постановка задачи

В том случае, если искомая функция зависит от нескольких переменных, дифференциальное уравнение будет уравнением в частных производных. Например, движение упругой среды можно описать уравнением в частных производных: В этом уравнении функция u ( t, x ) зависит от времени ( t ) и направления смещения среды ( x ). u x – смещение среды, ρ – плотность среды, T x – компонента напряжений

Изображение слайда
1/1
5

Слайд 5

Постановка задачи Обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) называются уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции y = y ( x ): где x – независимая переменная. Наивысший порядок n, входящей в уравнение производной, называется порядком дифференциального уравнения. Например: уравнение первого порядка; уравнение второго порядка

Изображение слайда
1/1
6

Слайд 6

Постановка задачи Из общей записи дифференциального уравнения можно выразить производную в явном виде: Уравнение для производных имеет бесконечное множество решений. Для получения единственного решения необходимо указать дополнительные условия, которым должны удовлетворять искомые решения.

Изображение слайда
1/1
7

Слайд 7

Постановка задачи В зависимости от вида таких условий рассматривают три типа задач, для которых доказано существование и единственность решений. Первый тип – это задачи с начальными условиями. Для таких задач кроме исходного дифференциального уравнения в некоторой точке x 0 должны быть заданы начальные условия, т.е. значения функции y ( x ) и её производных: y (x 0 ) = y 0 y ' ( x 0 ) = y ' 0,..., y (n -1) ( x 0 ) = y n-1 0.

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже
8

Слайд 8

Постановка задачи Второй тип задач – это, так называемые, граничные, или краевые, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями. Третий тип задач для обыкновенных дифференциальных уравнений – это задачи на собственные значения.

Изображение слайда
1/1
9

Слайд 9

Постановка задачи Сформулируем задачу Коши. Найти решение обыкновенного дифференциального уравнение (ОДУ) первого порядка, разрешенное относительно производной удовлетворяющее начальному условию

Изображение слайда
1/1
10

Слайд 10

Постановка задачи Необходимо найти на отрезке [ x 0, x n ] такую непрерывную функцию y = y ( x ), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальному условию т.е. найти решение дифференциального уравнения. Нахождение такого решения называют решением задачи Коши. Численное решение этой задачи состоит в построении таблицы приближенных значений y 1, y 2,..., y n решения уравнения y ( x ) в точках x 1, x 2,..., x n с некоторым шагом h.

Изображение слайда
1/1
11

Слайд 11

19.02.2019 11 y ’= x 2 xdy = y 3 dx Обыкновенные дифференциальные уравнений Уравнения в частных производных

Изображение слайда
1/1
12

Слайд 12

19.02.2019 12 y ′= x 2 xdy = y 3 dx Уравнения первого порядка Уравнения второго порядка

Изображение слайда
1/1
13

Слайд 13

19.02.2019 13 Пример 1. Для дифференциального уравнения y 0 = 2 при х 0 = 1 общее решение : у = х 2 + С 2 = 1 + С, то есть С = 1 М 0 (1; 2)

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
14

Слайд 14

19.02.2019 14 Условие Липшица

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже
15

Слайд 15

19.02.2019 15 Методы приближенного решения дифференциальных уравнений Аналитические методы Численные методы Метод последовательных приближений – метод Пикара Метод интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов Метод Эйлера и его модификации Метод Рунге-Кутта Экстраполяционный метод Адамса

Изображение слайда
1/1
16

Слайд 16

19.02.2019 Метод Эйлера

Изображение слайда
1/1
17

Слайд 17

19.02.2019 Решить дифференциальное уравнение у ′ = f ( x, y ) численным методом – это значит для заданной последовательности аргументов х 0, х 1,…,х n и числа у 0, не определяя функцию у= F ( x ), найти такие значения у 1, y 2, …, y n, что y i = F ( x i ) и F ( x 0 )= y 0. h = x k - x k -1

Изображение слайда
1/1
18

Слайд 18

19.02.2019 Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка y ’= f (x, y) с начальным условием x = x 0, y ( x 0 )= y 0 [ a, b ] шаг интегрирования

Изображение слайда
1/1
19

Слайд 19

19.02.2019 19

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
20

Слайд 20

19.02.2019 то есть

Изображение слайда
1/1
21

Слайд 21

19.02.2019 Обозначим

Изображение слайда
1/1
22

Слайд 22

19.02.2019 x 0 x 1 x 2 h x y 0

Изображение слайда
1/1
23

Слайд 23

19.02.2019 Погрешность метода где

Изображение слайда
1/1
24

Слайд 24

19.02.2019 Пример 1. Решить у’=у- x с начальным условием х 0 =0, у 0 =1.5 на отрезке [0;1.5], h =0.25 i x i y i y i ’=y i -x i (1) (2) (3) (4) (5) 0 1 2 3 4 5 6 0 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.5000 1.875 2.2812 2.7265 3.226 3.7758 4.4072 1.5000 1.6250 1.7812 1.9765 2.2206 2.5258 0.3750 0.4062 0.4453 0.4941 0.5552 0.6314 Решение

Изображение слайда
1/1
25

Слайд 25

19.02.2019 Метод Эйлера Ввод x, y, h, b Вывод x, y конец + -

Изображение слайда
1/1
26

Слайд 26

19.02.2019 Усовершенствованный метод Эйлера y n+1  = y n  + h·[f(t n, y n ) + f(t n+1 , y  n+1  ) ]/2 вернемся к разложению функции в ряд Тейлора повышение точности расчета может быть достигнуто за счет сохранения члена, содержащего h 2. y  ( t 0 ) можно аппроксимировать конечной разностью: С учетом этого выражения разложение функции в ряд Тейлора принимает вид ошибка при этом имеет порядок h 3

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/4
27

Слайд 27

19.02.2019 МЕТОД РУНГЕ-КУТТЫ

Изображение слайда
1/1
28

Слайд 28

19.02.2019 Задача. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка y ’= f(x, y) с начальным условием x = x 0, y ( x 0 )= y 0 Найти решение уравнения на отрезке [ a, b ]

Изображение слайда
1/1
29

Слайд 29

19.02.2019

Изображение слайда
1/1
30

Слайд 30

19.02.2019

Изображение слайда
1/1
31

Слайд 31

19.02.2019

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
32

Слайд 32

19.02.2019 Погрешность метода R n ( h 5 )

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
33

Слайд 33

19.02.2019 Пример 1. Решить дифференциальное уравнение у′= у- x с начальным условием х 0 =0, у(х 0 )=у 0 =1.5 методом Рунге-Кутта. Вычислить с точностью до 0,01. Решение k 1 (0) =(y 0 -x 0 )h=1.5000*0.25=0.3750

Изображение слайда
1/1
34

Слайд 34

19.02.2019 k 4 (0) =[( y 0 + k 3 (0) )-( x 0 + h )] h =[(1.5000+0.3926)- 0.125]*0.25=0. 4106 =0,3920 y 1 =1.50000+0.3920=1.8920

Изображение слайда
1/1
35

Слайд 35

19.02.2019

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
36

Слайд 36

19.02.2019

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
37

Слайд 37

19.02.2019 , Метод Рунге-Кутта при решении систем дифференциальных уравнений

Изображение слайда
1/1
38

Слайд 38

19.02.2019 , где

Изображение слайда
1/1
39

Слайд 39

19.02.2019

Изображение слайда
1/1
40

Слайд 40

19.02.2019

Изображение слайда
1/1
41

Слайд 41

19.02.2019

Изображение слайда
1/1
42

Слайд 42

19.02.2019 ,

Изображение слайда
1/1
43

Слайд 43

19.02.2019 43 Метод последовательных приближений

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
44

Слайд 44

19.02.2019 44 Первое приближение: Второе приближение: Третье приближение: … n -е приближение:

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/5
45

Слайд 45

19.02.2019 45 Теорема. Пусть в окрестности точки (х 0 ; у 0 ) функция f (х, у) непрерывна и имеет ограниченную частную производную f ’ y (х, у). Тогда в некотором интервале, содержащем точку х 0, последовательность { y i ( x )} сходится к функции у(х), служащей решением дифференциального уравнения у’ = f (х, у) и удовлетворяющей условию у (х 0 ) = у 0

Изображение слайда
1/1
46

Слайд 46

19.02.2019 46 Оценка погрешности метода Пикара где М = m ах | f (х, у)| N = m ах | f ’ y (х, у)|

Изображение слайда
1/1
47

Слайд 47: Метод Пикара последовательных приближений

Дифференциальное уравнение n -ого порядка Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка y ’ = f ( x, y ) (1) с начальными условиями y ( x 0 ) = y 0 (2). Предполагается, что в некоторой окрестности точки M 0 ( x 0, y 0 ) уравнение (1) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения.

Изображение слайда
1/1
48

Слайд 48

Будем строить искомое решение y  =  y ( x ) для значений x      x 0. Случай x     x 0 аналогичен. Интегрируя правую и левую части уравнения (1) в пределах от x 0 до x, получим или в силу начального условия (2), будем иметь (3)

Изображение слайда
1/1
49

Слайд 49

Заменяя в равенстве (3) неизвестную функцию y данным значением y 0, получим первое приближение Так как искомая функция y = y ( x ) находится под знаком интеграла, то уравнение (3) является интегральным. Очевидно, решение интегрального уравнения (3) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) и начальному условию (2). Для нахождения этого решения применим метод последовательных приближений.

Изображение слайда
1/1
50

Слайд 50

Далее подставив в равенстве (3) вместо неизвестной функции y найденную функцию y 1, будем иметь второе приближение и т.д. Все дальнейшие приближения строятся по формуле ( n = 1, 2, …) Геометрически последовательные приближения представляют собой кривые y n = y n ( x ) ( n = 1, 2, … ), проходящие через общую точку M 0 ( x 0, y 0 ).

Изображение слайда
1/1
51

Слайд 51

y 0 x 0 x x + h x Замечание. При методе последовательных приближений в качестве начального приближения y 0, можно выбирать любую функцию, достаточно близкую к точному решению y. Например, иногда выгодно в качестве y 0 брать конечный отрезок ряда Тейлора искомого решения.

Изображение слайда
1/1
52

Слайд 52

Заметим, что при пользовании методом последовательных приближений аналитичность правой части дифференциального уравнения необязательна, поэтому этот метод можно применять и в тех случаях, когда разложение решения дифференциального уравнения в степенной ряд невозможно. Пример 1. Методом последовательных приближений найти приближенное решение дифференциального уравнения y ’ = x – y, Удовлетворяющее начальному условию y (0) = 1.

Изображение слайда
1/1
53

Слайд 53

Решение. В качестве начального приближения возьмем y 0 ( x ) = 1. Так как то будем иметь Аналогично

Изображение слайда
1/1
54

Слайд 54

Подобным же образом получим и т.д.

Изображение слайда
1/1
55

Слайд 55: Система дифференциальных уравнений (метод Пикара)

Дана система дифференциальных уравнений (4) где (5) Записывая векторное уравнение (4) в интегральной форме, будем иметь

Изображение слайда
1/1
56

Слайд 56

(6) где под интегралом от вектор-функции понимается вектор

Изображение слайда
1/1
57

Слайд 57

Последовательные приближения ( p = 1, 2, …) определяются по формуле Причем обычно полагают Этот метод годится также для дифференциального уравнения n -го порядка, если его записать в виде системы.

Изображение слайда
1/1
58

Слайд 58

Пример 2. Построить несколько последовательных приближений для решения системы удовлетворяющего начальным условиям y 1 (0) = 1; y 2 (0) = 0

Изображение слайда
1/1
59

Слайд 59

Решение. Имеем: Отсюда, полагая получаем y 1 (0) = 1; y 2 (0) = 0

Изображение слайда
1/1
60

Слайд 60

и т.д.

Изображение слайда
1/1
61

Последний слайд презентации: 19.02.2019 1 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Метод Пикара

19.02.2019 61 Окончание вычислений

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже