Презентация на тему: 13. Частица в потенциальном ящике

13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
14. Атом водорода
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
15. Орбитальный момент импульса и проекция момент импульса
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
16. Излучение фотонов
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
16.1 Спектр излучения атома водорода
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
1 6.2 Вынужденное излучение
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
16.3 Лазер
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
Основные выводы
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
13. Частица в потенциальном ящике.
1/87
Средняя оценка: 4.0/5 (всего оценок: 25)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (2758 Кб)
1

Первый слайд презентации: 13. Частица в потенциальном ящике

Рассмотрим частицу в одномерном ящике с абсолютно отражающими стенками, расстояние между которыми равно L. Потенциальная энергия частицы вне и внутри потенциального ящика имеет следующее значения: U =0 (0< x < L ) U = ∞ ( x =0, <0, x = L, > L ) Задача о движении частицы в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками сводится к решению уравнения Шредингера:

Изображение слайда
2

Слайд 2

Рис. 13.1 Если U = ∞ при х = L и х = 0, то функция  ( x ) должна обращаться в нуль при этих значениях х. В этом состоит смысл граничных условий. Частица отражается от стенок ящика.

Изображение слайда
3

Слайд 3

Решением этого уравнения при U = 0 является функция где Функция должна обращаться в нуль на границах при х = L, х = 0. Подставляя в  ( х ) вместо х величину L, получаем Это справедливо при kL = n , где n – целое число. Разрешены только дискретные значения волнового числа k n :

Изображение слайда
4

Слайд 4

Это значит, что в ящике укладывается целое число полуволн, что совпадает с условием возникновения стоячей волны на струне: L = n (  /2) На рис. 13.2 изображены волновые функции  n ( х ) = A sin ( n  x / L ) для n = 1, 2, 3, 4. Значения импульса: или Зн ачения кинетической энергии

Изображение слайда
5

Слайд 5

Рис.13.2 Волновые функции первых четырех состояний частицы в ящике; На нижнем рисунке – плотность вероятности состояния с n = 4. Наименьшую энергию имеет основное состояние с n = 1 Волновая функция основного состояния  1 ( х ) = A sin (  x / L ) имеет вид половины синусоиды.

Изображение слайда
6

Слайд 6

Значения E n называются собственными значениями гамильтониана Ĥ. Соответствующие им волновые функции  n ( х ) называются собственными функциями гамильтониана Ĥ.

Изображение слайда
7

Слайд 7

В квантовой механике частица в ящике не может иметь энергию меньше энергии основного состояния Е 1 (  в ящике не должна быть нулевой функцией), в классической же физике частица может иметь нулевую энергию.

Изображение слайда
8

Слайд 8: 14. Атом водорода

Задача о движении электрона в атоме водорода сводится к задаче о движении электрона в сферически симметричном кулоновском потенциале. Уравнение Шредингера удобнее решать в сферических координатах ( r, θ, φ ), которые связаны с декартовыми координатами ( x,y,z ) соотношениями: х = r sin  cos  y = r sin  sin  z = r cos 

Изображение слайда
9

Слайд 9

Уравнение Шредингера в сферической системе координат имеет вид: где U = – k 0 e 2 / r – кулоновский потенциал, k 0 =1 /(4 πε 0 ). Для основного состояния атома водорода решением уравнения является волновая функция  = А 1 e  r / a Энергия основного состояния атома водорода равна

Изображение слайда
10

Слайд 10

Подставляя в Е выражение для а, находим: Подстановка значений m, k 0, e и ħ дает E =  21,8  10  19 Дж =  13,6 эВ = - 1 Ry. Эта энергия есть минимальное количество энергии, необходимое для удаления электрона из атома водорода. Она называется энергией связи или потенциалом ионизации.

Изображение слайда
11

Слайд 11

При r = а амплитуда волны уменьшается в е раз по сравнению с максимальным значением ( e  r / а = 1/ e ). Данное значение r выбирается в качестве радиуса атома водорода. Используя выражение для а, находим = 5,3  10  11 м = 0.52917 Å (радиус атома водорода).

Изображение слайда
12

Слайд 12

Функция  = e  r / а представляет собой стоячую волну основного состояния, которая соответствует нижнему уровню энергии Е 1. Волновые функции для следующих двух энергетических уровней имеют вид и Графики этих функций приведены на рис.14.1.

Изображение слайда
13

Слайд 13

Рис.14.1 Волновые функции атома водорода, соответствующие n = 1, 2, 3 и l = 0

Изображение слайда
14

Слайд 14

Все возможные энергетические уровни атома водорода равны : (14.1) где n  целое положительное число ( n=1,2,3,… ). Число n называется главным квантовым числом. Для полного описания трехмерной стоячей волны необходимы еще два квантовых числа, которые характеризуют момент импульса частицы.

Изображение слайда
15

Слайд 15: 15. Орбитальный момент импульса и проекция момент импульса

Предположим, что волновой пакет ( электрон ) с волновым числом k движется по окружности радиусом R, как показано на рис. 15.1. z Рис. 15.1 Волновой пакет, движущийся по окружности радиусом R. Длина дуги s = R 

Изображение слайда
16

Слайд 16

Такой пакет имеет момент импульса относительно оси z, равный L z = Rp = R ( ħ k ). Волновую функцию пакета на дуге s = R  можно записать в виде  ~ e i ( ks  t ) = e i ( kR   t ). Поскольку функции  (  = 0) и  (  = 2  ) отвечают одной и той же точке пространства, то их значения должны совпадать, т.е. e ikR (0) = 1= e ikR (2  ) Это равенство выполняется в общем случае, если kR = m, где m – целое число.

Изображение слайда
17

Слайд 17

Умножив обе части этого равенства на ħ, имеем ħ kR = m ħ или L z = m ħ Таким образом момент импульса атома водорода квантуется и составляет целое кратное ħ. L z принимает значения: 0, ± ħ, ±2 ħ, ± 3 ħ и т.д.

Изображение слайда
18

Слайд 18

В общем случае волновые функции частицы, движущейся в сферически симметричном кулоновском потенциале, записываются как : где - радиальные функции - шаровые функции, - присоединенные полиномы Лежандра

Изображение слайда
19

Слайд 19

Индексы: n - главное квантовое число, l – орбитальное квантовое число, m – магнитное квантовое число Кулоновский потенциал обладает свойством: все собственные функции с одним и тем же квантовым числом n имеют одинаковое собственное значение энергии. l принимает значения: 0, 1, … n – 1, m пробегает значения от  l до + l.

Изображение слайда
20

Слайд 20

Возможные комбинации n, l и m для случая n = 2 Известно, что кинетическая энергия вращательного движения твердого тела равна К = L 2 /2 I, где I  момент инерции, L – момент импульса. Согласно квантовой теории : n l m 2 0 0 2 2 2 1 1 1 1 0  1

Изображение слайда
21

Слайд 21

Сравнивая два последних выражения, находим: L = Величина определяет квадрат величины момента импульса, L z = l ħ представляет собой максимальное значение проекции момента импульса на выбранное направление ( ось z).

Изображение слайда
22

Слайд 22: 16. Излучение фотонов

Спонтанное излучение Согласно квантовой механике, электрон, находящийся на энергетическом уровне выше основного, может испустить фотон и перейти на более низкий энергетический уровень. Такой процесс называется спонтанным излучением. Типичное время, необходимое для процесса испускания фотона, составляет порядка 10  8 с.

Изображение слайда
23

Слайд 23

Если фотон испускается в результате перехода между уровнями с энергиями Е n ' и Е n, то его энергия: h  = Е n ' – Е n Частота фотона  = ( Е n ' – Е n )/ h Если атом имеет, например, четыре различных энергетических уровня, как показано на рис. 16.1, то возможны шесть различных переходов с более высоких уровней на более низкие.

Изображение слайда
24

Слайд 24

Рис. 16.1 Шесть возможных переходов между четырьмя энергетическими уровнями

Изображение слайда
25

Слайд 25

Ф отоны представляют собой элементарные частицы со спином 1 и моментом импульса L = ħ. При испускании фотона орбитальное квантовое число атома l изменяется на единицу.

Изображение слайда
26

Слайд 26: 16.1 Спектр излучения атома водорода

Пусть энергия более высокого возбужденного уровня равна а энергия более низкого уровня равна 16.1 Спектр излучения атома водорода

Изображение слайда
27

Слайд 27

Ч астоты, отвечающие различным спектральным линиям, равны Серия спектральных линий при переходах с верхних возбуждённых состояний на нижнее основное состояние ( n = 1) дает серию Лаймана. Все линии серии расположены в ультрафиолетовой области спектра излучения. При переходе на n = 2 возникает другая серия линий, называемая серией Бальмера (видимый свет) ( рис.16.2 а,б).

Изображение слайда
28

Слайд 28

Рис.16.2 а  возможные линии спектра атома водорода вплоть до  = 7000 Å; б  переходы, отвечающие серии Лаймана (штриховые линии со стрелками) и серии Бальмера (сплошные линии со стрелками)

Изображение слайда
29

Слайд 29: 1 6.2 Вынужденное излучение

Обозначим через N 1 - число атомов находящихся в основном состоянии с энергией Е 1, а через N 2  число возбужденных атомов с энергией Е 2, N = N 1 + N 2  общее число атомов. Величины N 1 и N 2 называют заселенностью соответствующих энергетических уровней.

Изображение слайда
30

Слайд 30

В состоянии термодинамического равновесия формула Больцмана дает соотношение между числами N 1 и N 2 при заданной температуре T Из него следует, что при любой температуре для равновесной системы N 1  N 2.

Изображение слайда
31

Слайд 31

Как отмечалось ранее, атом в возбужденном состоянии находится в течение очень малого промежутка времени и самопроизвольно переходит в основное состояние, испустив квант излучения ħ . Самопроизвольное излучение возбужденного атома называется спонтанным излучением.

Изображение слайда
32

Слайд 32

Спонтанное излучение атомов не коррелированно, неполяризованно и некогерентно. Такое излучение испускают обычные источники света  лампы накаливания, люминесцентные лампы, нагретые тела, Солнце и др.

Изображение слайда
33

Слайд 33

Эйнштейн показал, что существует еще один процесс  процесс вынужденного или стимулированного излучения. Оно стимулируется излучением, падающим извне на возбужденный атом. С вероятностью В 12 оно вынуждает атом излучать. Скорость процесса вынужденного излучения равна Z 21  = B 21  N 2  U , T., где U , T – плотность энергии излучения. Происходящий процесс изображен на рис.16.3.

Изображение слайда
34

Слайд 34

Рис.16.3 Падающее излучение вынуждает возбужденный атом излучать. Кванты вынужденного излучения неотличимы от первичных стимулирующих квантов. Возникающий фотон оказывается в фазе с внешним фотоном и летит в том же направлении

Изображение слайда
35

Слайд 35

Отметим свойства вынужденного излучения отличающие его от спонтанного излучения : 1. Вынужденное и злучение распространяется в том же направлении, что и вызвавшее его излучение. 2. Фаза волны вынужденного излучения точно совпадает с фазой падающей волны. 3. Вынужденное излучение линейно поляризовано в той же плоскости поляризации, что и падающее излучение. 4. Кванты вынужденного излучения неотличимы от первичных квантов.

Изображение слайда
36

Слайд 36

Среды с инверсной заселенностью уровней По мере распространения излучения в веществе его энергия уменьшается, а интенсивность убывает по экспоненциальному закону (закон Бугера): I ( z ) = I 0 exp (  z ). где I 0, I ( z )  интенсивность излучения на входе и на выходе слоя вещества;  - коэффициент поглощения вещества. Для поглощающих излучение сред коэффициент  положителен.

Изображение слайда
37

Слайд 37

Существуют среды, при распространении в которых излучение усиливается, а не ослабляется (среды с отрицательным коэффициентом поглощения) рис.16.4. Впервые эта идея была высказана Фабрикантом в 1939 г. Такая активная среда должна иметь N 2 >N 1 - инверсную заселенность энергетических уровней.

Изображение слайда
38

Слайд 38

Рис.16.4 Изменение интенсивности излучения в среде с обычной (   0) и инверсной (  < 0) заселенностью

Изображение слайда
39

Слайд 39

Механизм усиления вынужденного излучения при распространении его в активной среде состоит в следующем. Если атом находится в возбужденном состоянии, то под действием падающего излучения он может вынужденно испустить еще один квант излучения, увеличивая энергию излучения в веществе на ħ .

Изображение слайда
40

Слайд 40

В равновесном состоянии вещества число атомов в основном состоянии N 1 всегда больше числа атомов N 2 в возбужденном состоянии. Для создания активной среды с инверсной заселенностью уровней необходимы особые условия, обеспечивающие генерацию возбужденных атомов.

Изображение слайда
41

Слайд 41: 16.3 Лазер

Квантовые усилители и генераторы. Идея усиления и генерации вынужденного излучения активной средой была реализована в 1955 г. Басовым и Прохоровым в СССР и в США Таунсом, Вебером. В 1960 г. был создан оптический квантовый генератор - лазер ( Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation  усиление света с помощью вынужденного излучения).

Изображение слайда
42

Слайд 42

Первый твердотельный лазер был создан на основе монокристалла рубина (корунд Al 2 O 3 с примесями ионов хрома Cr 3+). Для создания инверсии заселенностей уровней использовалась трехуровневая схема. Энергетический спектр атомов содержит три уровня с энергиями Е 1, Е 2 и Е 3 (рис.16.5).

Изображение слайда
43

Слайд 43

Рис.16.5 Трехуровневая схема генерации вынужденного излучения в рубиновом лазере ( Al 2 O 3 - Cr 3+ )

Изображение слайда
44

Слайд 44

Главная особенность трехуровневой системы состоит в том, что средний уровень 2 метастабильный, но время жизни атома в нем (~ 10  3 с) в сотни тысяч раз превышает время жизни в обычном возбужденном состоянии (~ 10  8 с). Это позволяет накапливать возбужденные атомы на втором уровне с энергией Е 2.

Изображение слайда
45

Слайд 45

Процесс перевода атомов в возбужденное состояние называют накачкой. В рубиновом лазере используется импульсная оптическая накачка. Кристалл рубина Р освещают ксеноновой лампой Л, работающей в импульсном режиме, длительность вспышки ~ 10  3 с (рис.16.6).

Изображение слайда
46

Слайд 46

Рис.16.6 Схема рубинового лазера

Изображение слайда
47

Слайд 47

Поглощая это излучение, атомы хрома переходят в возбужденное состояние с энергией Е 3, время жизни которых < 10  7 с. За это время атомы хрома переходят на более низкий метастабильный энергетический уровень с Е 2. Переход 3  2 является безызлучательным (без испускания фотона), избыток энергии передается от атома хрома к кристаллической решетке рубина.

Изображение слайда
48

Слайд 48

Метастабильность уровня 2 обеспечивает инверсную заселенность уровней 1 и 2. Рубиновый стержень превращается в активную среду, способную усиливать вынужденное излучение с λ = 594,3 нм ( переход 2  1). Если в результате спонтанного перехода рождается фотон с такой длиной волны, то он индуцирует новые фотоны, точно копирующие первоначальный.

Изображение слайда
49

Слайд 49

Рождение вынужденных фотонов носит лавинообразный характер. Чтобы оптический усилитель превратить в оптический генератор когерентного лазерного излучения, необходимо обеспечить положительную обратную связь. Для этого усиленный пучок излучения надо снова направить в активную среду.

Изображение слайда
50

Слайд 50

Обратную связь обеспечивает оптический резонатор, состоящий из двух параллельных плоских зеркал (З I и З II на рис.16.6), расположенных вблизи торцов рубинового стержня. Одно из зеркал делается полупрозрачным. После многократного отражения от зеркал и усиления лазерный пучок становится интенсивным и выходит через полупрозрачное зеркало. Затем следует новая вспышка лампы накачки и процесс повторяется.

Изображение слайда
51

Слайд 51: Основные выводы

Уравнение Шредингера в трех измерениях записывается следующим образом: В случае, когда  ( x, у, z ) зависит только от r, это уравнение принимает вид

Изображение слайда
52

Слайд 52

В случае атома водорода U =  k 0 ( e 2 / r ). При этом решением, соответствующим состоянию с низшей энергией E 1 =  k 0 ( me 4 /2 ħ 2 ) =  13,6 эВ, является функция  1 = ехр(– r / а ), где а = ħ /( k 0 me 2 )  радиус. Собственные значения энергии E n = (  13,6/ n 2 ) эВ. Соответствующие им решения могут зависеть от углов  и .

Изображение слайда
53

Слайд 53

Зависимость волновой функции от угла  имеет вид exp ( im  ), где L z = m ħ  проекция момента импульса на ось z. Зависимость от угла  характеризуется значением квантового числа l, причем L = l ħ  максимальное значение величины L z ; иными словами, m может быть любым целым числом в пределах от  l до + l. Квантовое число l может принимать целочисленные значения от 0 до n  1. При n  > n возможен спонтанный переход с уровня Е n' на уровень Е n, сопровождающийся испусканием фотона.

Изображение слайда
54

Слайд 54

Энергия фотона h  = Е n ' – Е n. Если фотон с такой частотой  сталкивается с атомом в состоянии Е n, то фотон может поглотиться, а атом при этом перейдет из начального состояния Е n в состояние Е n'. Если газообразный водород нагрет и часть атомов находится в возбужденных состояниях с более высокой энергией, то энергии фотонов в спектре излучения запишутся в виде

Изображение слайда
55

Слайд 55

Фотон может стимулировать возбужденные атомы испускать кванты с той же частотой и фазой. Таким образом, совокупность атомов, находящихся в подходящем возбужденном состоянии, позволяет получить пучок когерентного света. На этом принципе основано действие лазера. Боровская модель дает правильные значения энергетических уровней и радиусов орбит атома водорода. В ее основе лежит гипотеза, что электрон движется по классической орбите, для которой mvR = n ħ.

Изображение слайда
56

Слайд 56

Если сначала открыть только щель А, а затем постепенно открывать щель В, то мы вправе ожидать, что скорость счета по мере открывания щели В будет постепенно увеличиваться от 100 до 200 отсчетов в секунду. Вместо этого наблюдается уменьшение скорости счета от 100 до нуля. Таким образом открывание щели В может повлиять на электроны, которые, казалось бы, прошли через щель А.

Изображение слайда
57

Слайд 57

Более того, если счетчик Гейгера поместить в точку Р 2, то по мере открывания щели В скорость счета будет постепенно увеличиваться от 100 до 400 отсчетов в секунду, когда вторая щель полностью открыта. Таким образом, должно быть 100 + 100 = 400, что возможно, если происходит сложение амплитуд (10 + 10) 2 = 400.

Изображение слайда
58

Слайд 58

Пусть в точке Р (рис.3) находится счетчик Гейгера. Амплитуда волны, прошедшей через щель А и достигшей точки Р, в условных единицах равна  А = 2, а в случае щели В мы имеем  В = 6. Если открыта только щель А, то в точке Р ежесекундно регистрируется 100 электронов. 3. Прохождение пучка электронов через две щели

Изображение слайда
59

Слайд 59

Найдем: а) Сколько электронов регистрируется ежесекундно, если открыта только щель В. б) Если открыты обе щели и происходит конструктивная интерференция, то определим число ежесекундно регистрируемых электронов. в) То же, но в случае деструктивной интерференции. а). Отношение интенсивностей волн = 36/4 = 9. Следовательно, через щель В проходит ежесекундно в 9 раз больше частиц, чем через щель А, т.е. 900 электронов.

Изображение слайда
60

Слайд 60

б). Полная амплитуда волны  =  А +  В, или  = 8. Поскольку  2 = 16, то в точке Р будет регистрироваться 1600 электронов в секунду. в). В этом случае  А и  B должны иметь противоположные знаки, чтобы ослаблять друг друга. Следовательно,  = 2 – 6 = –4. Теперь  2 = 16, т.е. в 4 раза больше. Это соответствует регистрации 400 электронов в секунду. Рассмотрим распределение интенсивности в интерференционном опыте с двумя щелями, если щель В пропускает в 4 раза больше электронов, чем щель А.

Изображение слайда
61

Слайд 61

В этом случае или. Полная интенсивность в максимуме пропорциональна (  А +  В ) 2 или I макс = Интенсивность в минимуме равна Следовательно, отношение I макс / I мин = 9. Распределение интенсивности описывается выражением I = I А [5 + 4 cos k ( r В – r А )], где r А и r В – расстояния от экрана до щелей А и В, соответственно.

Изображение слайда
62

Слайд 62

Изложенный формализм порождает ряд вопросов, требующих дальнейшей физической интерпретации. Допустим, что мы выпускаем по одному электрону. Согласно волновым представлениям, каждому электрону сопоставляется цуг волн, или волновой пакет, расщепляющийся поровну между двумя щелями.

Изображение слайда
63

Слайд 63

Однако, поместив за щелью А счетчик Гейгера, камеру Вильсона или иной детектор частиц, мы увидим, что через щель никогда не проходит половины электрона. В этом сущность атомизма, который совместим с гипотезой о том, что интенсивность волны за щелью А характеризует вероятность найти электрон (целиком!) в этом месте. Если детектор поместить за щелью А, то интерференционная картина сгладится и получится классический результат. Наличие детектора изменяет результат, превращая интерференционную картину (рис. 2) в классическую (рис. 1).

Изображение слайда
64

Слайд 64

Многие физики, включая Эйнштейна, пытались придумать такой опыт, в результате которого можно было бы, не нарушая интерференционной картины, установить, через какую именно щель прошла данная частица; однако все эти попытки потерпели неудачу. В 1926 г. М. Борн так сформулировал вероятностный смысл волновой функции в квантовой механике : Квадрат модуля волновой функции  ( x, y, z, t ) определяет плотность вероятности W того, что в момент времени t  0 частица может быть обнаружена в точке пространства M = = M ( x, y, z ) с координатами x, y и z :

Изображение слайда
65

Слайд 65

Принцип суперпозиции квантовых состояний  одно из важных свойств квантовых состояний, которое формально является следствием линейности уравнения Шредингера для волновой функции, которое будет обсуждаться в следующем параграфе.

Изображение слайда
66

Слайд 66

Из линейности этого уравнения следует, что если частица может находиться в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией  1, а также в другом квантовом состоянии, описываемом волновой функцией  2, то эта частица может также находиться в состоянии, описываемом волновой функцией где C 1 и C 2 в общем случае комплексные числа. Можно говорить и о суперпозиции любого числа квантовых состояний, которая описывается волновой функцией

Изображение слайда
67

Слайд 67

В таком состоянии квадрат модуля коэффициента C n определяет вероятность того, что при измерении, проведенном над системой с волновой функцией , мы обнаружим ее в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией  n. Для нормированных волновых функций Квантовомеханический принцип суперпозиции состояний не имеет аналога в классической механике. В классической теории свободная частица в данный момент времени движется либо в одном направлении в пространстве, либо в другом направлении.

Изображение слайда
68

Слайд 68

Квантовая частица, состояние которой описывается волновой функцией, являющейся суперпозицией двух плоских волн де Бройля одновременно движется и вправо вдоль оси x и влево. С точки зрения классической механики такой ответ абсурден.

Изображение слайда
69

Слайд 69

С позиций квантовой механики это означает, что при проведении серии опытов по обнаружению направления движения частицы, находящейся в таком квантовом состоянии, с вероятностью P 1 ~  C 1  2 будет получен ответ, что частица движется вправо вдоль оси x, а с вероятностью P 2 ~  C 2  2, что частица движется влево. Столь необычный ответ квантовой механики казалось бы на простой вопрос, не является чисто теоретическим абстрактным результатом.

Изображение слайда
70

Слайд 70

В современных информационных технологиях, разрабатывающих квантовые компьютеры, возможно использование логического элемента не только с двумя состояниями «0» и «1», но и элементов, которые могут находиться в состояниях суперпозиции нуля и единицы с некоторыми вероятностями. Такие элементы существенно изменяют принцип работы компьютера и позволяют создавать алгоритмы, значительно повышающие быстродействие и эффективность переработки информации.

Изображение слайда
71

Слайд 71

Соотношения неопределенностей были установлены Гейзенбергом в 1927 г Казалось бы, если известно что частица покоится, то неопределенность ее импульса  р = 0. Можно попытаться, например, с помощью микроскопа определить положение частицы и тем самым обойти принцип неопределенности. Действительно, микроскоп позволяетт определять положение частицы с точностью до длины волны используемого света  х  .

Изображение слайда
72

Слайд 72

Но поскольку  р = 0, то произведение  х  р также должно быть равно нулю и принцип неопределенности казалось бы нарушится. Но это не так. Мы пользуемся светом, a свет состоит из фотонов с импульсом р = h / . Чтобы обнаружить частицу, на ней должен рассеяться или поглотиться по крайней мере один из фотонов пучка света (рис 4), и частице будет передан импульс  p = h / .

Изображение слайда
73

Слайд 73

Рис. 4. Взаимодействие в микроскопе фотонов с частицей

Изображение слайда
74

Слайд 74

Таким образом, в момент наблюдения положения частицы с точностью  х   неопределенность ее импульса. Перемножая неопределенности  p и  х, находим что согласуется с соотношением неопределенностей. Этот пример иллюстрирует внутреннюю непротиворечивость квантовой механики.

Изображение слайда
75

Слайд 75

C помощью уравнения Шредингера решим задачу о движении частицы в потенциальной яме со стенками конечной высоты U 0 (рис.4). Нужно найти волновые функции  n и энергии E n, которые удовлетворяли бы граничному условию, такому, что  ( x )  0 при больших | х |.

Изображение слайда
76

Слайд 76

Рис. 4. а – потенциальная яма глубиной U 0 и первый энергетический уровень; б – соответствующая волновая функция

Изображение слайда
77

Слайд 77

В области II рис. 4 уравнение Шредингера можно записать в виде Уравнение имеет решения и

Изображение слайда
78

Слайд 78

Когда кинетическая энергия отрицательна, знаки второй производной d 2  / dx 2 и функции  совпадают, и функция изгибается в сторону от оси х. В случае положительной кинетической энергии (например, в области I )  ( х ) изгибается в направлении к оси х, подобно синусоиде. На рис. 5 кривая b иллюстрирует поведение волновой функции  при правильном выборе значения Е.

Изображение слайда
79

Слайд 79

Рис. 5. Кривая b совпадает с приведенной на рис. 4, б. Кривая а соответствует случаю, когда Е несколько меньше Е 1, а кривая с – когда Е несколько больше E 1

Изображение слайда
80

Слайд 80

Если энергия Е выбрана чуть меньше, то в области I  ( х ) будет изгибаться медленнее (кривая а ). Если же E выбрать несколько больше, то  ( х ) будет соответствовать кривой с. Правильное поведение, иллюстрируемое кривой b, описывается функцией (в области II ) и  1 = В cos kx (в области I ), где

Изображение слайда
81

Слайд 81

При х = х 0 или и  1 = В cos kx (в области I ), где При х = х 0 или При х 0 одинаковы также и наклоны обеих кривых, так что Разделив это соотношение на предыдущее, получим

Изображение слайда
82

Слайд 82

Это трансцендентное уравнение можно решить для первого энергетического уровня E 1. Используя формулу для , его можно привести к виду: Определим величины и Тогда Уравнение может иметь несколько корней в зависимости от величины у 0.

Изображение слайда
83

Слайд 83

Сравним потенциальную яму конечной глубины с бесконечно глубокой потенциальной ямой шириной 10 –10 м ( х 0 = = 0,5  10 –10 м), для электрона, находящегося в яме глубиной 800 эВ имеем Уравнение имеет три положительных корня: у 1, y 3, y 5. Найти эти корни можно либо графически, либо методом итераций, либо методом «проб и ошибок». Корни имеют значения у 1 = 1,38, у 3 = 4,11 и у 5 = 6,69.

Изображение слайда
84

Слайд 84

Поскольку k = у / х 0 и Е = ( ħ k )2/2 m, получаем E 1 = 28,8 эВ, E 3 = 256 эВ, E 5 = 678 эВ. Для n = 2 и 4 волновые функции в области I имеют вид  I = B sin kx. Сшивая граничные условия при х = х 0, имеем ,

Изображение слайда
85

Слайд 85

Разделив одно соотношение на другое, получим или В случае у 0 = 7.27 существуют два положительных корня: у 2 = 2,75 и у 4 = 5,44. Соответствующие энергии для электрона в потенциальной яме конечной глубины Е 2 = 115 эВ и Е 4 = 447 эВ. На рис. 6 показаны все эти уровни энергии, а на рис. 7 – первые три волновые функции. ,

Изображение слайда
86

Слайд 86

, Рис. 6. Энергетические уровни электрона в яме шириной 10 –10 м. Сплошные линии соответствуют потенциальной яме глубиной 800 эВ, а штриховые – потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (то же, что и на рис. 9)

Изображение слайда
87

Последний слайд презентации: 13. Частица в потенциальном ящике

Рис. 7. Сплошные линии – стоячие волны низшего порядка, соответствующие энергиям Е 1, Е 2, Е 3 на рис. 6. Штриховые линии – соответствующие волновые функции в потенциальной яме той же ширины, но с бесконечно высокими стенками

Изображение слайда